Tips och lösning till U 11.15b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Nu har vi två ekvationer som leder till ett ekvationssystem.
Tips 2
Ekvationssystemet får en parameterlösning som ger dej de vektorer du behöver.
Tips 3
Slutligen fyller du ut till en bas med metoden en etta och resten nollor. Glöm ej att visa att dina vektorer är linjärt oberoende!
Lösning
Underrummet \displaystyle V är snittmängden mellan underrummen
V_1=\{\boldsymbol{x}\in {\bf R}^4: x_1+x_2=0\}
och
V_2=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_3+x_4=0\},
dvs \displaystyle V=V_1\cap V_2 . En vektor \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in V måste alltså uppfylla
\left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\x_3+x_4&=&0\end{array}\right.
Om vi sätter \displaystyle x_2=t , så får vi att \displaystyle x_1=-t och om vi sätter \displaystyle x_4=s så får vi \displaystyle x_3=-s . Alltså får vi att \displaystyle V består av alla vektorer på formen
\boldsymbol{x}=s(0,0,-1,1)^t+(-1,1,0,0)^t.
Det är ganska uppenbart att vektorerna \displaystyle \left(\begin{array}{r} 0\\0\\-1\\1\end{array}\right) och \displaystyle \left(\begin{array}{r} -1\\1\\0\\0\end{array}\right) är linjärt oberoende och därmed en bas för \displaystyle V . Alltså \displaystyle \dim V=2 . Vi undersöker om vi kan fylla ut basen för \displaystyle V med t.ex., \displaystyle (1,0,0,0)^t och \displaystyle (0,0,1,0)^t genom att lösa beroendesambandet
\lambda_1(0,0,-1,1)^t+\lambda_2(-1,1,0,0)^t +\lambda_3(1,0,0,0)^t+\lambda_4(0,0,1,0)^t =\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrrr}0&-1&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right)
Systemet har endast den triviala lösningen och därmed är \displaystyle (0,0,-1,1)^t,(-1,1,0,0)^t,(1,0,0,0)^t och \displaystyle (0,0,1,0)^t är linjärt oberoende och därmed bas för \displaystyle {\bf R}^4 .
