Tips och lösning till U 11.3a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi använder definition 10.27
Tips 2
Du skall alltså undersöka om det finns tal \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 sådana att
\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3=(6,2,0,-4)^t
Tips 3
Du får nu ett ekvationssystem som du försöker att lösa. Om systemet har en lösning så är vektorn en linjärkombination i M. Glöm inte bort att kontrollera din lösning, dvs visa att \displaystyle \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3=(6,2,0,-4)^t för de värden på \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 du erhållit.
Lösning
Vektorn \displaystyle (6,2,0,-4)^t är en linjärkombination i \displaystyle M om
det finns tal \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 sådana att
\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3=(6,2,0,-4)^t,
dvs
\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{c} 6\\ 2\\ 2 \\ -4 \end{array}\right) \Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\0&-2&0\\0&0&-2\\0&0&0 \end{array}\right|\left. \begin{array}{c} 6\\ -4\\ -6 \\ 0 \end{array}\right)
Systemet har alltså lösningen \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_2 =2 och \displaystyle \lambda_3=3 och därmed är vektorn
(6,2,0,-4)^t=\boldsymbol{v}_1+2\boldsymbol{v}_2+3\boldsymbol{v}_3
en linjärkombination i \displaystyle M .
