Slaskövning11

Övning 11.1

Avgör vilka av följande mängder är linjära rum.

a) M1= alla polynom av grad exakt =4 .

b) M2= alla 33 matriser med reella element .

c) M3= alla reella funktioner definerade på[−11] .

d) M4= alla reella funktioner f definerade på [02] sådana att f(1)=1 .

e) M5= alla reella funktioner f definerade på [02] sådana att f(1)=0 .

Övning 11.2

Vilka av följande mängder är underrum i R3?

a) M1=R3: x1−2x2+3x3=0

b) M2=R3: x1−2x2+3x3=1

c) M3=R3: x1−2x2+3x3=0ochx2−x3=0

d) M4=R3: x1=0ellerx2=0

Övning 11.3

Betrakta mängden M=123R4, där 1=(1111)t, 2=(1−11−1)t och 3=(11−1−1)t.

a) Undersök om (620−4)t är en linjärkombination i M.

b) Undersök om (620−3)t tillhör linjära höljet [M].

Övning 11.4

Låt M vara mängden i Övning 11.3 och låt U=[M] vara linjära höljet för M, dvs U är mängden av alla linjära kombinationer i \displaystyle M .

a) Ange en ekvation \displaystyle U . Vad kallas den geometriska tolkningen av \displaystyle U .

b) Visa att \displaystyle U är ett underrum.

c) Bestäm alla vektorer som inte ligger i \displaystyle U .

Övning 11.5

Låt

och

a) Ange en ekvation för \displaystyle V resp. \displaystyle W .

b) Låt mängden \displaystyle U vara som i Övning 10.4. Bestäm snittmängden \displaystyle U\cap V , dvs mängden av alla gemensamma vektorer som ligger i både \displaystyle U och \displaystyle V . Bestäm också \displaystyle U\cap W .

Övning 11.6

Visa att vektorerna

i \displaystyle {\bf R}^4 är linjärt beroende. Skriv \displaystyle \boldsymbol{v}_3 som en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_4 . Kan \displaystyle \boldsymbol{v}_2 skrivas som en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4 ?

Övning 11.7

Låt \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(a,a,a,a)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,a,a,1)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,2,a,2)^t , och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=(2,1,2,a)^t vara vektorer i \displaystyle {\bf R}^4 . För vilket eller vilka värden på \displaystyle a är vektorerna linjärt oberoende?

Övning 11.8

Mängden av punkter i \displaystyle {\bf R}^n som uppfyller en viss linjär ekvation brukar kallas ett hyperplan. T.ex. ges ett hyperplan i \displaystyle {\bf R}^4 av en ekvation av formen

Bestäm det hyperplan som går genom punkterna

Övning 11.9

Låt

och

beteckna underrum i \displaystyle {\bf R}^4 . Ange underrummet \displaystyle U\cap V .

Övning 11.10

Låt \displaystyle U och \displaystyle V vara de underrum i \displaystyle {\bf R}^4 som ges av att

och

Visa att \displaystyle U=V . (Motivera väl!)

Övning 11.11

Visa att vektorerna \displaystyle (1,2,3,4)^t , \displaystyle (0,1,2,3)^t , \displaystyle (0,0,1,2)^t , \displaystyle (0,0,0,1)^t utgör en bas för \displaystyle {\bf R}^4 . Ange koordinaterna för \displaystyle (1,1,1,1)^t i denna bas.

Övning 11.12

a) Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet

                                x_1&+&x_2&-&x_3& &
                                &=&0\end{array}\right.

och utvidga denna till en bas för \displaystyle {\bf R}^4 .

b) Ange koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,0)^t i basen Du har valt i a).

Övning 11.13

Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

Övning 11.14

Bestäm dimensionen till följande underrum i \displaystyle {\bf R}^4 samt fyll ut till dimension fyra.

a) \displaystyle U=[(1,0,2,1)^t,(1,1,0,1)^t,(2,1,2,1)^t]

b) \displaystyle V=[(1,-1,2,1)^t,(1,-1,3,2)^t,(-1,1,0,1)^t,(1,-1,5,4)^t]

c) \displaystyle W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4:\ x_1+x_3-2x_4=0\}

Övning 11.15

Sätt

och

a) Bestäm \displaystyle \dim U , en bas för \displaystyle U och komplettera sen den funna basen till en bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 .

b) Bestäm \displaystyle \dim V , en bas för \displaystyle V och komplettera sen den funna basen till en bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 .

Övning 11.16

Ange dimensionen för \displaystyle U\cap V om

Övning 11.17

Låt

och

Bestäm ett delrum \displaystyle W\subset{\bf R}^5 sådant att \displaystyle \dim W=3 , \displaystyle \dim W\cap U=2 och \displaystyle \dim W\cap V=2 .