18.1 Egenvärden och egenvektorer
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Vald flik|[[18.1 Egenvärden och egenvektorer|18...) |
|||
| (2 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 7: | Rad 7: | ||
| - | Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/ | + | Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/3b/Kap18_1.pdf 18.1 Egenvärden och egenvektorer]. |
| - | Du har nu läst definitionen av determinanter av | + | Du har nu läst definitionen av determinanter av egenvärden och egenvektorer och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet. |
| - | ===Övning | + | __TOC__ |
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.1=== | ||
| + | Låt <math> O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 </math> vara ett ON-system i rummet. | ||
| + | Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver | ||
| + | |||
| + | a) ortogonal projektion i planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math> | ||
| + | |||
| + | b) spegling i planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math> | ||
| + | |||
| + | c) vridning <math> \pi/2 </math> kring <math> \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 </math> | ||
| + | |||
| + | d) vridning <math> \pi </math> kring <math> \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 </math> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.1a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.1b | ||
| + | |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.1c | ||
| + | |Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.1d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.2=== | ||
| + | Låt <math> F </math> vara en linjär avbildning på rummet med matrisen | ||
| + | <math> A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) </math>. | ||
| + | |||
| + | a) Visa att <math>\lambda_1=1 </math> är ett egenvärde med tillhörande egenvektor | ||
| + | <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math> till <math> F </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Visa att <math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) </math> är | ||
| + | en egenvektor till <math> F </math>. Bestäm tillhörande egenvärde <math>\lambda_2 </math>. | ||
| + | |||
| + | c) Visa att <math>\lambda_3=2 </math> är ett egenvärde till <math> F </math> och bestäm tillhörande egenvektor <math>\boldsymbol{v}_3 </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.2|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.2a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.2b | ||
| + | |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.2c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.3=== | ||
| + | Antag att <math> F </math> är en linjär avbildning i rummet som har matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right). | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | a) Bestäm egenvärdena till <math> F </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Bestäm egenrummen till <math> F </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.3|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.3a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.3b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.4=== | ||
| + | Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math> av egenvektorer till matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left(\begin{array}{rrr} 9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right). | ||
| + | </math></center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.4}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.5=== | ||
| + | Avbildningen <math> F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} </math> ges i | ||
| + | basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> | ||
| + | av matrisen <math> \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) </math>. | ||
| + | |||
| + | Bestäm en bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.5}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.6=== | ||
| + | Låt <math> \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> vara en bas för rummet. En linjär avbildning <math> F </math> på rummet ges av | ||
| + | <center><math> | ||
| + | F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| + | F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| + | F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till <math> F </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.5}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.7=== | ||
| + | Avbildningen <math> F </math> ges i plan ON-bas | ||
| + | <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av matrisen | ||
| + | <math> \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) </math>. | ||
| + | Bestäm egenvärden och egenvektorer till <math> F </math>. Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? | ||
| + | Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm <math> F </math>:s matris i denna bas. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.7|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.7}} | ||
Nuvarande version
| 18.1 | 18.2 |
Läs textavsnitt 18.1 Egenvärden och egenvektorer.
Du har nu läst definitionen av determinanter av egenvärden och egenvektorer och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 22.1
Låt \displaystyle O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver
a) ortogonal projektion i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0
b) spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0
c) vridning \displaystyle \pi/2 kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3
d) vridning \displaystyle \pi kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3
Hämtar...
Övning 22.2
Låt \displaystyle F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) .
a) Visa att \displaystyle \lambda_1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) till \displaystyle F .
b) Visa att \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) är en egenvektor till \displaystyle F . Bestäm tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 .
c) Visa att \displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F och bestäm tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .
Övning 22.3
Antag att \displaystyle F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right).
a) Bestäm egenvärdena till \displaystyle F .
b) Bestäm egenrummen till \displaystyle F .
Övning 22.4
Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 av egenvektorer till matrisen
\left(\begin{array}{rrr} 9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).
Övning 22.5
Avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) .
Bestäm en bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
Övning 22.6
Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas för rummet. En linjär avbildning \displaystyle F på rummet ges av
F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till \displaystyle F .
Övning 22.7
Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.
