12.1 Definition av euklidiska rum
SamverkanLinalgLIU
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
Du har nu läst definitionen av euklidiska rum och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet. | Du har nu läst definitionen av euklidiska rum och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet. | ||
| - | + | __TOC__ | |
| + | <div class="ovning"> | ||
===Övning 13.1=== | ===Övning 13.1=== | ||
| + | Låt <math> \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t </math> vara två vektorer i <math> {\bf R}^4 </math>. Bestäm talet <math> \lambda </math> så att vektorn | ||
| + | <math> \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 </math> blir ortogonal mot <math> \boldsymbol{f}_1 </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.1|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.1}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.2=== | ||
| + | Bestäm ''vinkeln'' mellan <math> \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t </math> i <math> {\bf R}^5 </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.2}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.3=== | ||
| + | Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i <math> {\bf R}^5 </math> som | ||
| + | har hörn i punkterna <math> (2,4,2,4,2) </math>, <math> (6,4,4,4,6) </math> och <math> (5,7,5,7,2) </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.3|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.3}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.4=== | ||
| + | Ange reella tal <math> a </math> och <math> b </math> så att | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2 | ||
| + | </math></center> | ||
| + | blir en skalärprodukt i <math> {\bf R}^2 </math>, där <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t </math> och | ||
| + | <math> \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.4}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.5=== | ||
| + | I <math> {\bf R}^3 </math> införs skalärprodukten | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+2x_2y_2+11x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_1y_3-x_3y_1+2x_2y_3+2x_3y_2, | ||
| + | </math></center> | ||
| + | där <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t </math> och <math> \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t </math>. Bestäm längden av vektorn <math> (1,-2,1)^t </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.5}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.6=== | ||
| + | För vilka värden på <math> a </math> är vektorerna <math> (a,1,1)^t </math> och <math> (a,1,a)^t </math> ortogonala med avseende på skalärprodukten | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \varphi( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} )=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3 | ||
| + | </math></center> | ||
| + | i <math>{\bf R}^3 </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.6|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.6}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.7=== | ||
| + | Betrakta vektorerna <math> \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t </math>, | ||
| + | <math> \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t </math> och <math> \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t </math>. | ||
| + | |||
| + | a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i <math> {\bf E}^4 </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna | ||
| + | ovan. | ||
| + | |||
| + | c) Fyll ut mängden till en ON-bas i <math> {\bf E}^4 </math>. | ||
| + | |||
| + | d) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t </math> i basen Du har valt | ||
| + | i c). | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 13.7a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 13.7b | ||
| + | |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 13.7c | ||
| + | |Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 13.7d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 13.8=== | ||
| + | Bestäm talen <math> a </math>, <math> b </math> och <math> c </math>, så att | ||
| + | |||
| + | a) Vektorerna <math> \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t </math>, | ||
| + | <math> \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t </math> och | ||
| + | <math> \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t </math> bildar en | ||
| + | ON-bas för <math> {\bf E}^3 </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | blir ortogonal. (Se Definition 6.36.) | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 13.8a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 13.8b}} | ||
Nuvarande version
| 12.1 | 12.2 | 12.3 |
Läs textavsnitt 12.1 Definition av euklidiska rum.
Du har nu läst definitionen av euklidiska rum och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 13.1
Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t vara två vektorer i \displaystyle {\bf R}^4 . Bestäm talet \displaystyle \lambda så att vektorn \displaystyle \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 blir ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1 .
Hämtar...
Övning 13.2
Bestäm vinkeln mellan \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t i \displaystyle {\bf R}^5 .
Övning 13.3
Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i \displaystyle {\bf R}^5 som har hörn i punkterna \displaystyle (2,4,2,4,2) , \displaystyle (6,4,4,4,6) och \displaystyle (5,7,5,7,2) .
Övning 13.4
Ange reella tal \displaystyle a och \displaystyle b så att
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2
blir en skalärprodukt i \displaystyle {\bf R}^2 , där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t .
Övning 13.5
I \displaystyle {\bf R}^3 införs skalärprodukten
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+2x_2y_2+11x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_1y_3-x_3y_1+2x_2y_3+2x_3y_2,
där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t . Bestäm längden av vektorn \displaystyle (1,-2,1)^t .
Övning 13.6
För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle (a,1,1)^t och \displaystyle (a,1,a)^t ortogonala med avseende på skalärprodukten
\varphi( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} )=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3
i \displaystyle {\bf R}^3 .
Övning 13.7
Betrakta vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t .
a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i \displaystyle {\bf E}^4 .
b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna ovan.
c) Fyll ut mängden till en ON-bas i \displaystyle {\bf E}^4 .
d) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t i basen Du har valt i c).
Övning 13.8
Bestäm talen \displaystyle a , \displaystyle b och \displaystyle c , så att
a) Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t bildar en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^3 .
b) Matrisen
\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix}
blir ortogonal. (Se Definition 6.36.)
