12.1 Definition av euklidiska rum
SamverkanLinalgLIU
| 12.1 | 12.2 | 12.3 |
Läs textavsnitt 12.1 Definition av euklidiska rum.
Du har nu läst definitionen av euklidiska rum och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 13.1
Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t vara två vektorer i \displaystyle {\bf R}^4 . Bestäm talet \displaystyle \lambda så att vektorn \displaystyle \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 blir ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1 .
Hämtar...
Övning 13.2
Bestäm vinkeln mellan \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t i \displaystyle {\bf R}^5 .
Övning 13.3
Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i \displaystyle {\bf R}^5 som har hörn i punkterna \displaystyle (2,4,2,4,2) , \displaystyle (6,4,4,4,6) och \displaystyle (5,7,5,7,2) .
Övning 13.4
Ange reella tal \displaystyle a och \displaystyle b så att
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2
blir en skalärprodukt i \displaystyle {\bf R}^2 , där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t .
Övning 13.5
I \displaystyle {\bf R}^3 införs skalärprodukten
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+2x_2y_2+11x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_1y_3-x_3y_1+2x_2y_3+2x_3y_2,
där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t . Bestäm längden av vektorn \displaystyle (1,-2,1)^t .
Övning 13.6
För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle (a,1,1)^t och \displaystyle (a,1,a)^t ortogonala med avseende på skalärprodukten
\varphi( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} )=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3
i \displaystyle {\bf R}^3 .
Övning 13.7
Betrakta vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t .
a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i \displaystyle {\bf E}^4 .
b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna ovan.
c) Fyll ut mängden till en ON-bas i \displaystyle {\bf E}^4 .
d) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t i basen Du har valt i c).
Övning 13.8
Bestäm talen \displaystyle a , \displaystyle b och \displaystyle c , så att
a) Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t bildar en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^3 .
b) Matrisen
\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix}
blir ortogonal. (Se Definition 6.36.)
