12.1 Definition av euklidiska rum

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[12.1 Definition av euklidiska rum|12...)
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 16.25) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 8: Rad 8:
-
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/Kap4_1.pdf 4.1 Definition av vektorprodukt].
+
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/a/a4/Kap12_1.pdf 12.1 Definition av euklidiska rum].
-
 
+
-
Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
+
 +
Du har nu läst definitionen av euklidiska rum och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
 +
__TOC__
 +
<div class="ovning">
===Övning 13.1===
===Övning 13.1===
 +
Låt <math> \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t </math> vara två vektorer i <math> {\bf R}^4 </math>. Bestäm talet <math> \lambda </math> så att vektorn
 +
<math> \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 </math> blir ortogonal mot <math> \boldsymbol{f}_1 </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.1|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.1}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.2===
 +
Bestäm ''vinkeln'' mellan <math> \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t </math> i <math> {\bf R}^5 </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.2}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.3===
 +
Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i <math> {\bf R}^5 </math> som
 +
har hörn i punkterna <math> (2,4,2,4,2) </math>, <math> (6,4,4,4,6) </math> och <math> (5,7,5,7,2) </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.3|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.3}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.4===
 +
Ange reella tal <math> a </math> och <math> b </math> så att
 +
<center><math>
 +
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2
 +
</math></center>
 +
blir en skalärprodukt i <math> {\bf R}^2 </math>, där <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t </math> och
 +
<math> \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.4}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.5===
 +
I <math> {\bf R}^3 </math> införs skalärprodukten
 +
<center><math>
 +
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+2x_2y_2+11x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_1y_3-x_3y_1+2x_2y_3+2x_3y_2,
 +
</math></center>
 +
där <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t </math> och <math> \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t </math>. Bestäm längden av vektorn <math> (1,-2,1)^t </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.5}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.6===
 +
För vilka värden på <math> a </math> är vektorerna <math> (a,1,1)^t </math> och <math> (a,1,a)^t </math> ortogonala med avseende på skalärprodukten
 +
<center><math>
 +
\varphi( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} )=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3
 +
</math></center>
 +
i <math>{\bf R}^3 </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.6|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.6}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.7===
 +
Betrakta vektorerna <math> \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t </math>,
 +
<math> \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t </math> och <math> \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t </math>.
 +
 +
a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i <math> {\bf E}^4 </math>.
 +
 +
b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna
 +
ovan.
 +
 +
c) Fyll ut mängden till en ON-bas i <math> {\bf E}^4 </math>.
 +
 +
d) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t </math> i basen Du har valt
 +
i c).
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 13.7a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 13.7b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 13.7c
 +
|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 13.7d}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 13.8===
 +
Bestäm talen <math> a </math>, <math> b </math> och <math> c </math>, så att
 +
 +
a) Vektorerna <math> \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t </math>,
 +
<math> \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t </math> och
 +
<math> \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t </math> bildar en
 +
ON-bas för <math> {\bf E}^3 </math>.
 +
 +
b) Matrisen
 +
<center><math>
 +
\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix}
 +
</math></center>
 +
blir ortogonal. (Se Definition 6.36.)
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 13.8a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 13.8b}}

Nuvarande version

       12.1          12.2          12.3      


Läs textavsnitt 12.1 Definition av euklidiska rum.

Du har nu läst definitionen av euklidiska rum och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Innehåll

Övning 13.1

Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t vara två vektorer i \displaystyle {\bf R}^4 . Bestäm talet \displaystyle \lambda så att vektorn \displaystyle \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 blir ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1 .

Svar
Svar till U 13.1
Tips och lösning
Tips och lösning till U 13.1


Övning 13.2

Bestäm vinkeln mellan \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t i \displaystyle {\bf R}^5 .

Svar
Svar till U 13.2
Tips och lösning
Tips och lösning till U 13.2


Övning 13.3

Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i \displaystyle {\bf R}^5 som har hörn i punkterna \displaystyle (2,4,2,4,2) , \displaystyle (6,4,4,4,6) och \displaystyle (5,7,5,7,2) .

Svar
Svar till U 13.3
Tips och lösning
Tips och lösning till U 13.3



Övning 13.4

Ange reella tal \displaystyle a och \displaystyle b så att

\displaystyle

\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2

blir en skalärprodukt i \displaystyle {\bf R}^2 , där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t .

Svar
Svar till U 13.4
Tips och lösning
Tips och lösning till U 13.4



Övning 13.5

I \displaystyle {\bf R}^3 införs skalärprodukten

\displaystyle

\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+2x_2y_2+11x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_1y_3-x_3y_1+2x_2y_3+2x_3y_2,

där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t . Bestäm längden av vektorn \displaystyle (1,-2,1)^t .

Svar
Svar till U 13.5
Tips och lösning
Tips och lösning till U 13.5




Övning 13.6

För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle (a,1,1)^t och \displaystyle (a,1,a)^t ortogonala med avseende på skalärprodukten

\displaystyle

\varphi( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} )=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3

i \displaystyle {\bf R}^3 .

Svar
Svar till U 13.6
Tips och lösning
Tips och lösning till U 13.6



Övning 13.7

Betrakta vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t .

a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i \displaystyle {\bf E}^4 .

b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna ovan.

c) Fyll ut mängden till en ON-bas i \displaystyle {\bf E}^4 .

d) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t i basen Du har valt i c).

Svar
Svar till U 13.7
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 13.7a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 13.7b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 13.7c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 13.7d



Övning 13.8

Bestäm talen \displaystyle a , \displaystyle b och \displaystyle c , så att

a) Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t bildar en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^3 .

b) Matrisen

\displaystyle

\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix}

blir ortogonal. (Se Definition 6.36.)

Svar
Svar till U 13.8
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 13.8a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 13.8b
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/12.1_Definition_av_euklidiska_rum