Övningar Kapitel 3

Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm

a)

\displaystyle \displaystyle A\cup B

b)

\displaystyle \displaystyle A\cap B

c)

\displaystyle \displaystyle A\setminus B

d)

\displaystyle \displaystyle B \setminus A

Låt \displaystyle f(x)=\sqrt{x}. Vilka av följande val till definitions- och målmängd är tillåtna?

a) \displaystyle f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+

b) \displaystyle f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}

c) \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}

d) \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}

e) \displaystyle f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}

Kommentar: Observera att om du har en funktion vars målmängd är är lika med \displaystyle A, då är målmängden lika med \displaystyle A och inget annat. Målmängden till en sammansatt funktion bestäms inte genom att välja en godtycklig mängd som innehåller värdemängden.

Låt

\displaystyle \qquad\begin{align}f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\\g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\end{align}

a) Kan man definiera \displaystyle f(g(a))? Kan man definiera \displaystyle g(f(a))?

b) Vad blir \displaystyle f(2/3)?

c) Vad blir \displaystyle g(f(2/3))?

d) Finns det ett naturligt tal \displaystyle n sådant att \displaystyle \qquad f(n)=2+3i?

e) Finns det ett naturligt tal \displaystyle n sådant att \displaystyle \qquad f(n)=2\pi?

Låt \displaystyle f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} så att \displaystyle f(x)= x+2 och att \displaystyle g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} så att \displaystyle g(x)= 2x.

a)	Hur ser den sammansatta funktionen \displaystyle f(g(x)) ut?
b)	Hur ser den sammansatta funktionen \displaystyle g(f(x)) ut?
c)	Är \displaystyle g(f(x)) och \displaystyle f(g(x)) samma funktion?

I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion \displaystyle f:{T}\rightarrow{S} är injektiv om \displaystyle f avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att \displaystyle a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b). Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta \displaystyle f(a)=f(b) \Rightarrow a = b . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".

Använd \displaystyle f(a)=f(b) \Rightarrow a = b för att visa att följande funktioner är injektiva. Låt \displaystyle f, g, h, p:{\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}

a) \displaystyle f(x) = 4x + 5

b) \displaystyle g(x) = x^3

c) \displaystyle h(x) = e^{x}

d) \displaystyle p(x) = h(g(x))

Låt \displaystyle f(x)=5x. Bestäm \displaystyle f:s värdemängd och avgör huruvida \displaystyle f är injektiv/surjektiv i vart och ett av följande fall:

a)

\displaystyle f:\{3,5,6,7\} \to \mathbb{R}

b)

\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}

c)

\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}

d)

\displaystyle f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.

a)	\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2.
b)	\displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3. \displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.
c)	\displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}.
d)	\displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)).
e)	\displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)).

Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:

a)	\displaystyle f
b)	\displaystyle g
c)	\displaystyle h(x) = f(g(x)).

Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband. För att belysa ett av dem:

Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen \displaystyle \mathbb{N} och heltalen \displaystyle \mathbb{Z}?

Att räkna med absolutbelopp kan ibland verka svårt. Det man behöver komma ihåg är att absolutbeloppet alltid ger oss ett positivt tal. Vi delar in vår uppgift i olika fall, motsvarande de intervall där uttrycken är positiva respektiva negativa. Exempelvis \displaystyle |x| = x om x är positivt, medans \displaystyle |x| = -x om x är negativt. På samma sätt får vi \displaystyle |x-2| = x-2 när \displaystyle x \geq 2 men \displaystyle |x-2| = -(x-2) när \displaystyle x < 2. Detta gör att ekvationer ibland får fler, eller färre, lösningar än vi förväntar oss. Lös följande uppgifter genom att dela in x i flera intervall beroende på värdet av utrycket inom absolutbelopp.

a) \displaystyle |x| = 1

b) \displaystyle |x| = -1

c) \displaystyle |x-2| = 0

d) \displaystyle |x^2 -9| = 7

Fortsätt att dela upp ekvationerna i flera fall beroende på tecknet på uttrycket inom absolutbelopp. Även här får vi ibland fall med lite oväntade resultat.

Lös följande:

a) \displaystyle |x|+x^2 = 1

b) \displaystyle 3x + |x-3| = 5

c) \displaystyle x + |x-3| = 5

d) \displaystyle |x^2 +4x + 4| = 1

e) \displaystyle |x^2 -5x + 6| = -2x + \frac{19}{4}

Ibland finns det fördelar med att skriva om trigonometriska funktioner och uttryck i form av andra trigonometriska funktioner.

Beräkna följade uppgifter.

a) \displaystyle \cos(\arcsin(\frac{1}{3}))

b) \displaystyle \sin(x)\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}

c) \displaystyle \cos(x) - \sin(x) = 0

Betrakta ekvationen \displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Vi noterar först och \displaystyle \sqrt{3}/2 motsvarar en standarvinkel, nämligen \displaystyle \pi/6. Däremot finns inte \displaystyle -\sqrt{3}/2 med på de vanligaste tabellerna över cos- och sin-värden för vanliga vinklar. Hur löser man då den här ekvationen? Vi ska dela upp lösningen i några enklare steg.

a) Utgå från ekvationen \displaystyle \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2. Använd trigonometriska samband från kurslitteraturen för att skriva om denna ekvation som \displaystyle \cos(x)=-\sqrt{3}/2, där \displaystyle x är en vinkel mellan \displaystyle 0 och \displaystyle \pi.

b) I a)-uppgift hittade vi en lösning till den angivna ekvationen. Hitta en till lösning på intervallet \displaystyle (-\pi,\pi]. Tips: rita upp enhetscirkeln!

c) I deluppgift a) och b) hittade två lösningar till ekvationen. Hitta resten av lösningarna.