Slaskövning11

Övning 11.1

Avgör vilka av följande mängder är linjära rum.

a) M1= alla polynom av grad exakt =4 .

b) M2= alla 33 matriser med reella element .

c) M3= alla reella funktioner definerade på[−11] .

d) M4= alla reella funktioner f definerade på [02] sådana att f(1)=1 .

e) M5= alla reella funktioner f definerade på [02] sådana att f(1)=0 .

Övning 11.2

Vilka av följande mängder är underrum i R3?

a) M1=R3: x1−2x2+3x3=0

b) M2=R3: x1−2x2+3x3=1

c) M3=R3: x1−2x2+3x3=0ochx2−x3=0

d) M4=R3: x1=0ellerx2=0

Övning 11.3

Betrakta mängden M=123R4, där 1=(1111)t, 2=(1−11−1)t och 3=(11−1−1)t.

a) Undersök om (620−4)t är en linjärkombination i M.

b) Undersök om (620−3)t tillhör linjära höljet [M].

Övning 11.4

Låt M vara mängden i Övning 11.3 och låt U=[M] vara linjära höljet för M, dvs U är mängden av alla linjära kombinationer i M.

a) Ange en ekvation U. Vad kallas den geometriska tolkningen av U.

b) Visa att U är ett underrum.

c) Bestäm alla vektorer som inte ligger i U.

Övning 11.5

Låt

V=[(100−1)t(01−10)t(1100)t]

och

W=[(100−1)t(01−10)t(1001)t]

a) Ange en ekvation för V resp. W.

b) Låt mängden U vara som i Övning 10.4. Bestäm snittmängden UV, dvs mängden av alla gemensamma vektorer som ligger i både U och V. Bestäm också UW.

Övning 11.6

Visa att vektorerna

1=(1014)t2=(2200)t3=(3102)t4=(4116)t

i R4 är linjärt beroende. Skriv 3 som en linjärkombination av 124. Kan 2 skrivas som en linjärkombination av 134?

Övning 11.7

Låt 1=(aaaa)t, 2=(1aa1)t, 3=(12a2)t, och 4=(212a)t vara vektorer i R4. För vilket eller vilka värden på a är vektorerna linjärt oberoende?

Övning 11.8

Mängden av punkter i Rn som uppfyller en viss linjär ekvation brukar kallas ett hyperplan. T.ex. ges ett hyperplan i R4 av en ekvation av formen

Ax1+Bx2+Cx3+Dx4+E=0

Bestäm det hyperplan som går genom punkterna

P0=(1111)P1=(2322)P2=(4546)P3=(0134)

Övning 11.9

Låt

U=[(1111)t(1110)t(1101)t]R4

och

V=R4:x1+x2+x3+x4=0x1+2x2+x3+3x4=0R4

beteckna underrum i R4. Ange underrummet UV.

Övning 11.10

Låt U och V vara de underrum i R4 som ges av att

U=[(1010)t(0111)t]

och

V=[(4−5−1−5)t(−32−12)t]

Visa att U=V. (Motivera väl!)

Övning 11.11

Visa att vektorerna (1234)t, (0123)t, (0012)t, (0001)t utgör en bas för R4. Ange koordinaterna för (1111)t i denna bas.

Övning 11.12

a) Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet

x1x1++x2x2+−x3x3+x4==00 

och utvidga denna till en bas för R4.

b) Ange koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,0)^t i basen Du har valt i a).