Slaskövning22
SamverkanLinalgLIU
| Rad 21: | Rad 21: | ||
Låt <math> F </math> vara en linjär avbildning på rummet med matrisen | Låt <math> F </math> vara en linjär avbildning på rummet med matrisen | ||
<math> A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) </math>. | <math> A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) </math>. | ||
| + | |||
a) Visa att <math>\lambda_1=1 </math> är ett egenvärde med tillhörande egenvektor | a) Visa att <math>\lambda_1=1 </math> är ett egenvärde med tillhörande egenvektor | ||
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math> till <math> F </math>. | <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math> till <math> F </math>. | ||
| Rad 31: | Rad 32: | ||
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.2b | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.2b | ||
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.2c}} | |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.2c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.3=== | ||
| + | Antag att <math> F </math> är en linjär avbildning i rummet som har matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right). | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | a) Bestäm egenvärdena till <math> F </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Bestäm egenrummen till <math> F </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.3|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.3a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.3b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 22.4=== | ||
| + | Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math> av egenvektorer till matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left(\begin{array}{rrr} -9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right). | ||
| + | </math></center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.4}} | ||
Versionen från 18 september 2010 kl. 11.44
Innehåll |
Övning 22.1
Låt \displaystyle O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver
a) ortogonal projektion i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0
b) spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0
c) vridning \displaystyle \pi/2 kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3
d) vridning \displaystyle \pi kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3
Hämtar...
Övning 22.2
Låt \displaystyle F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) .
a) Visa att \displaystyle \lambda_1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) till \displaystyle F .
b) Visa att \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) är en egenvektor till \displaystyle F . Bestäm tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 .
c) Visa att \displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F och bestäm tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .
Övning 22.3
Antag att \displaystyle F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right).
a) Bestäm egenvärdena till \displaystyle F .
b) Bestäm egenrummen till \displaystyle F .
Övning 22.4
Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 av egenvektorer till matrisen
\left(\begin{array}{rrr} -9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).
