Processing Math: 37%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Övningar Kapitel 1

Förberedande kurs i matematik

Version från den 20 juni 2012 kl. 13.05; Samuel (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Innehåll

[göm]

Övning 1.2.1

Beräkna

a) (−3)(7+(−5)(−3+2)) b) (−a+2b)(−a+3b)

Svar a) | Svar b) | Lösning a) | Lösning b)

Övning 1.2.2

Beräkna

a) 432  b) 813  c) 9−12  d) 025  e) 415

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Svar e) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d) | Lösning e)

Övning 1.2.3

Beräkna 22+1+362+(2+3)3+344470 

Svar | Lösning

Övning 1.2.4

Vilken är störst, 134348832+43−176  eller 32?

Svar | Lösning

Övning 1.2.5

Beräkna

a) Betrakta operationen ab=a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att ab=ba) b) Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att (ab)c=a(bc)) c) Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om a(b+c)=ab+ac)

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)


Övning 1.3.1

Primtalsfaktorisera

a) 1024 b) 1331

Svar a) | Svar b) | Lösning a) | Lösning b)

Övning 1.3.2

Hur många äkta delare har 23?

Svar


Övning 1.4.1

Beräkna följande

a) 18 modulo 7 b) 345332233 modulo 2 c) 156 modulo 29 d) 334 modulo 10

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)

Övning 1.4.2

Beräkna följande modulo 6

a) 36+23 b) 36129+2186(5282−100)  c) 5345+55

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)

Övning 1.4.3

a) Beräkna 388005 modulo 3. b) Beräkna entalssiffran i talet 37120.

Svar a) | Svar b) | Lösning a) | Lösning b)

Övning 1.4.4

a) Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. b) Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Lösning a) | Lösning b)

Övning 1.4.5

a) Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. b) En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med 3−5+4−7+8=−1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Lösning a) | Lösning b)


Övning 1.5.1

Kovertera följande tal till bas 5.

a) 4 b) 5 c) 125 d) 68

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)

Övning 1.5.2

Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.

Svar | Lösning | Tips

Övning 1.5.3

a) Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4. b) Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.

Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11.

Svar a) | Svar b) | Lösning a) | Lösning b)


Övning 1.8.1

Vad är realdelen/imaginärdelen till

a) \displaystyle \displaystyle -1+5i b) \displaystyle \displaystyle -\pi i

Svar a) | Svar b)

Övning 1.8.2

Beräkna

a) \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) b) \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i))

Svar a) | Svar b) | Lösning a) | Lösning b)

Övning 1.8.3

Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?

Svar | Lösning | Tips

Övning 1.8.4

a) Är \displaystyle \sqrt{2} ett reellt eller komplext tal? b) Är \displaystyle 3+3i ett reellt eller ett komplext tal? c) Hitta alla komplexa rötter till \displaystyle p(z) = z^3+z=0 . Hur många reella rötter har \displaystyle p(z) Hur många komplexa rötter har den?

Kan en funktion ha fler reella än komplexa rötter?

Svar | Lösning 1.8.5a | Lösning 1.8.5b | Lösning 1.8.5c

Övning 1.8.5

Låt \displaystyle z=a+bi. Vi vet att \displaystyle z/(3+4i)=2+i. Bestäm \displaystyle a och \displaystyle b.

Svar | Lösning

Övning 1.8.6

Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:

a) \displaystyle \text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})
b) \displaystyle \text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})
c) \displaystyle \text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})
d) \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}
e) \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Svar e) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d) | Lösning e)

Övning 1.8.7

Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.

Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?

Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.

Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!

Lösning

Övning 1.8.8

Förenkla \displaystyle (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012}

Svar | Lösning 1.8.1

Övning 1.8.9

För heltalsvärden på n, vilka värden kan \displaystyle i^n+i^{-n} anta?

Svar | Lösning 1.8.3

Övning 1.8.10

Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom \displaystyle z_1 =0

och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME)

Svar | Lösning 1.8.2


Övning 1.9.1

a) Utveckla\displaystyle (x+y)²-(x-y)² b) Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54.

Svar | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.b


Övning 1.9.2

Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.

Lösning

Övning 1.9.3

Faktorisera

a) \displaystyle \displaystyle x^2+1 b) \displaystyle \displaystyle x^2+y^2

Lösning a) | Lösning b)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/%C3%96vningar_Kapitel_1