Processing Math: 38%
Testsida
Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
| Rad 120: | Rad 120: | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
|Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom <math>z_1 =0 </math> | |Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom <math>z_1 =0 </math> | ||
| - | och <math> z_{n+1}=z^2_n+i </math> för <math> n \geq 1</math>. | + | och <math> z_{n+1}=z^2_n+i </math> för <math> n \geq 1</math>. Hur långt från origo kommer då <math> z_{111} </math> befinna sig? (Källa: AHSME) |
|| | || | ||
|} | |} | ||
Versionen från 13 juni 2012 kl. 13.50
Innehåll[göm] |
Övning 1
Beräkna
| a) | | b) | |
Hämtar...Övning 2
Beräkna
| a) | Betrakta operationen  b=a+2bb=ba | b) | Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att b)c=a(bc) | c) | Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om (b+c)=ab+ac |
Övning 1.2.1
Primtalsfaktorisera
| a) | | b) | |
Övning 1.2.2
Hur många äkta delare har 23?
Övning 1.4.1
| a) | Beräkna  5 | b) | Beräkna entalssiffran i talet |
Övning 1.4.2
| a) | Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
Övning 1.4.3
| a) | Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med |
{Moduloräkning}
Övning 1.5.1
| a) | Konvertera talet | b) | Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen 0211 114+3113+10112+0111+2110=19846Konvertera nu talet |
Övning 1.8.1
| Förenkla |
Övning 1.8.2
| Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME) |
Övning 2.1
Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x.
| a) | \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 | b) | \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1 | |||
| c) | \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 | d) | \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 | e) | \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0 |
Övning 3.5.1
| Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär? |
Övning 4.2.1
Antag att vi får använda att \displaystyle D(x)=1 utan bevis.
| a) | Visa att \displaystyle D(x^2)=2x med hjälp av produktregeln. | b) | Visa att \displaystyle D(x^n)= nx^{n-1} om vi antar att man vet \displaystyle D(x^{n-1})=(n-1)x^{n-2}. | c) | Med hjälp av b), visa att \displaystyle D(x^n)=nx^{n-1} för alla \displaystyle n. |
Övning 4.3.1
| a) | Visa att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/\cos x. | b) | Visa att \displaystyle x\ln(x) -x är en primitiv funktion till \displaystyle \ln (x). |
Övning 4.3.2
Antag att vi har två deriverbara funktioner f och g så att f(x)=0 för alla x.
| a) | Skriv upp en formel för derivatan av \displaystyle f(x)^{g(x)} uttryckt i \displaystyle D(f(x)) och \displaystyle D(g(x)). | b) | Tillämpa formeln genom att derivera \displaystyle (x^2+1)^3. | c) | Derivera \displaystyle x^x då \displaystyle x>0. | d) | Derivera \displaystyle x^{\sin x} då \displaystyle x>0. |
Övning 4.3.3
| a) | Derivera \displaystyle \sin x /x. | b) | Derivera \displaystyle \sin^3x + 3\sin x \cos x. |
