Processing Math: 34%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Slaskövning7

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (2 oktober 2010 kl. 16.59) (redigera) (ogör)
 
(24 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 21: Rad 21:
|-
|-
|d)
|d)
-
|| <math>CD</math>
+
|| <math>C^2</math>
|e)
|e)
|| <math>DF</math>
|| <math>DF</math>
Rad 32: Rad 32:
<div class="ovning">
<div class="ovning">
===Övning 7.2===
===Övning 7.2===
-
Bestäm en <math>2\times2</math> matris som kommuterar och en som inte kommuterar med <math>\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right). </math></div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U7.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.2}}
+
Bestäm alla matriser som kommuterar med <math>A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right)</math>
 +
Ange också en matris som inte kommuterar med <math>A</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U7.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.2}}
Rad 50: Rad 52:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.4|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.4a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.4b}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.4|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.4a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.4b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.5===
 +
Bestäm en <math>2\times2</math> matris <math>A</math> sådan att <math>A^2=B</math> om
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>A=\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>A=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.5|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.5a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.5b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.6===
 +
Betrakta matriserna
 +
 +
<center><math>
 +
A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}.
 +
</math></center>
 +
 +
Beräkna också följande matriser om de är definierade
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%"| <math>A^t</math>
 +
|b)
 +
|width="33%"| <math>B^t</math>
 +
|c)
 +
|width="33%"| <math>C^t</math>
 +
|-
 +
|d)
 +
|| <math>D^t</math>
 +
|e)
 +
|| <math>(AB)^t</math>
 +
|f)
 +
|| <math>B^tA</math>
 +
|-
 +
|g)
 +
|| <math>AA^t</math>
 +
|h)
 +
|| <math>A^tA</math>
 +
|i)
 +
|| <math>DD^t</math>
 +
|-
 +
|j)
 +
|| <math>D^tD</math>
 +
|k)
 +
|| <math>CD</math>
 +
|l)
 +
|| <math>D^tC</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.6|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.6a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.6b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.6c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.6d|Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 7.6e|Tips och lösning till f)|Tips och lösning till U 7.6f|Tips och lösning till g)|Tips och lösning till U 7.6g |Tips och lösning till h)|Tips och lösning till U 7.6h|Tips och lösning till i)|Tips och lösning till U 7.6i|Tips och lösning till j)|Tips och lösning till U 7.6j|Tips och lösning till k)|Tips och lösning till U 7.6k|Tips och lösning till l)|Tips och lösning till U 7.6l}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.7===
 +
Avgör vilka av följande matriser som är inverterbara och bestäm
 +
inverserna i förekommande fall
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%"| <math>A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="33%"| <math>B= \begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix} </math>
 +
|c)
 +
|width="33%"| <math>C= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.7a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.7b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.7c}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.8===
 +
Lös matrisekvationen <math>AXB=C</math>, med
 +
<center><math>
 +
A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix},\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\qquad
 +
C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.8|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.8}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.9===
 +
Lös matrisekvationen <math>AX=B</math>, där
 +
<center><math>
 +
A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.9|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.9}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.10===
 +
Lös matrisekvationen <math>XA=B</math>, där
 +
<center><math>
 +
A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad
 +
B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right).
 +
</math> </center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.10}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.11===
 +
Bestäm alla lösningar till matrisekvationen <math>XA=B</math>, där
 +
<center><math>
 +
A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}.
 +
</math> </center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.11|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.11}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.12===
 +
Antag att <math>A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)</math> och <math>B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}</math>.
 +
Bestäm alla lösningar till ekvationerna
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>AX=B</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>BX=A</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.12|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.12a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.12b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.13===
 +
Bestäm det polynom <math>P(x)</math> av lägst grad, för vilket gäller
 +
<center><math>
 +
P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.13|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.13}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.14===
 +
Bestäm konstanterna <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> och <math>d</math>, så att
 +
likheten
 +
<center><math>
 +
1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3
 +
</math> </center>
 +
gäller för alla heltal <math>n\geq1</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.14|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.14}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.15===
 +
Visa att om <math>A</math> är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>A+A^t</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>AA^t</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.15a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.15b}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.16===
 +
Visa att om <math>A</math> är en symmetrisk matris så är <math>B^tAB</math> symmetrisk för varje matris <math>B</math> för vilken produkterna gäller.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.16|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.16}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.17===
 +
En kvadratisk matris <math>A</math> kallas '''Skevsymmetrisk''' om <math>A^t=-A</math>.
 +
 +
a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.
 +
 +
b) Visa att om <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> skevsymmetriska matriser så är även <math>A+B</math> en skevsymmetrisk matris.
 +
 +
c) Visa att om <math>A</math> är kvadratisk så är <math>A-A^t</math> skevsymmetrisk.
 +
 +
d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.
 +
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.17a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.17b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.17c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.17d}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.18===
 +
'''Spåret''' till en kvadratisk matris <math>A=(a_{ij})_{n\times n}</math>
 +
definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas
 +
<math>\mbox{sp}(A)</math>, dvs
 +
<center><math> \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.</math></center>
 +
Antag att <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> matriser. Visa att
 +
 +
a) <math>\mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B)</math>.
 +
 +
b) <math>\mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A)</math>, där
 +
<math>\lambda\in{\bf R}</math>.
 +
 +
c) <math>A</math> och <math>B</math> inte kan uppfylla
 +
<center><math> AB-BA=E. </math> </center>
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.18|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.18a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.18b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.18c}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.19===
 +
Bestäm talen <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> så att
 +
matrisen
 +
<center><math>
 +
\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}
 +
</math> </center>
 +
blir ortogonal.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.19|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.19}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.20===
 +
Ge exempel på två matriser <math>A</math> och <math>B</math>
 +
som är både symmetriska och ortogonala, där
 +
<math>A</math> är av typen <math>2\times2</math> och <math>B</math> är av typen
 +
<math>3\times3</math> (<math>A</math> och <math>B</math> ej enhetsmatriser).
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.20|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.20}}

Nuvarande version

Innehåll

[göm]

Övning 7.1

Bestäm typerna av följande matriser:

A=102314B=235192C=1−1−124−173−1D=134F=(0 2 3) 

Beräkna också följande matriser om de är definierade

a) AB b) BA c) AC
d) C2 e) DF f) FD

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d) | Tips och lösning till e) | Tips och lösning till f)


Övning 7.2

Bestäm alla matriser som kommuterar med A=1427  Ange också en matris som inte kommuterar med A.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.3

Bestäm alla matriser som kommuterar med 2312 .

Svar | Tips och lösning


Övning 7.4

Bestäm An där n är ett positivt heltal om

a) A=3002  b) A=1021 

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b)


Övning 7.5

Bestäm en 22 matris A sådan att A2=B om

a) A=9004  b) A=10−41 

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b)


Övning 7.6

Betrakta matriserna

A=105346B=1−32−6C=147258369D=321 

Beräkna också följande matriser om de är definierade

a) At b) Bt c) Ct
d) Dt e) (AB)t f) BtA
g) AAt h) AtA i) DDt
j) DtD k) CD l) DtC

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d) | Tips och lösning till e) | Tips och lösning till f) | Tips och lösning till g) | Tips och lösning till h) | Tips och lösning till i) | Tips och lösning till j) | Tips och lösning till k) | Tips och lösning till l)


Övning 7.7

Avgör vilka av följande matriser som är inverterbara och bestäm inverserna i förekommande fall

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix} b) \displaystyle B= \begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix} c) \displaystyle C= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c)


Övning 7.8

Lös matrisekvationen \displaystyle AXB=C, med

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.9

Lös matrisekvationen \displaystyle AX=B, där

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}

Svar | Tips och lösning



Övning 7.10

Lös matrisekvationen \displaystyle XA=B, där

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right).

Svar | Tips och lösning


Övning 7.11

Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle XA=B, där

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.12

Antag att \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right) och \displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar till ekvationerna

a) \displaystyle AX=B b) \displaystyle BX=A

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b)


Övning 7.13

Bestäm det polynom \displaystyle P(x) av lägst grad, för vilket gäller

\displaystyle

P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.14

Bestäm konstanterna \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c och \displaystyle d, så att likheten

\displaystyle

1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3

gäller för alla heltal \displaystyle n\geq1.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.15

Visa att om \displaystyle A är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.

a) \displaystyle A+A^t b) \displaystyle AA^t

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b)


Övning 7.16

Visa att om \displaystyle A är en symmetrisk matris så är \displaystyle B^tAB symmetrisk för varje matris \displaystyle B för vilken produkterna gäller.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.17

En kvadratisk matris \displaystyle A kallas Skevsymmetrisk om \displaystyle A^t=-A.

a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.

b) Visa att om \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n skevsymmetriska matriser så är även \displaystyle A+B en skevsymmetrisk matris.

c) Visa att om \displaystyle A är kvadratisk så är \displaystyle A-A^t skevsymmetrisk.

d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.


Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d)


Övning 7.18

Spåret till en kvadratisk matris \displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n} definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas \displaystyle \mbox{sp}(A), dvs

\displaystyle \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n matriser. Visa att

a) \displaystyle \mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B).

b) \displaystyle \mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A), där \displaystyle \lambda\in{\bf R}.

c) \displaystyle A och \displaystyle B inte kan uppfylla

\displaystyle AB-BA=E.

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c)


Övning 7.19

Bestäm talen \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c så att matrisen

\displaystyle

\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}

blir ortogonal.

Svar | Tips och lösning


Övning 7.20

Ge exempel på två matriser \displaystyle A och \displaystyle B som är både symmetriska och ortogonala, där \displaystyle A är av typen \displaystyle 2\times2 och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3 (\displaystyle A och \displaystyle B ej enhetsmatriser).

Svar | Tips och lösning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning7