Tips och lösning till U 7.3
SamverkanLinalgLIU
Följ tipsen i uppgift 7.2.
Tips 3
Följ tipsen i uppgift 7.2.
Lösning
Kalla matrisen \displaystyle A. Vi söker en matris \displaystyle B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} som kommuterar med \displaystyle A. Det gäller att
AB=BA\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix}
\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2a+c&2b+d\\3a+2c&3b+2d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2a+3b&a+2b\\2c+3d&c+2d\end{pmatrix} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}{-4b+2c}&{-2a-6b+2d}&0&0\\{4a-6c-4d}&{4b-2c}&0&0\end{array}\right).
Varje komponent i systemet måste alltså uppfylla
\left\{\begin{array}{rcl}-3b+c&=&0\\-a+d&=&0\\3a-3d&=&0\\3b-c&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}3b-c&=&0\\a-d&=&0\end{array}\right.
Detta ger att \displaystyle c=3b och \displaystyle a=d.
Sätter vi \displaystyle d=t och \displaystyle b=s får vi \displaystyle c=3s och \displaystyle a=t.
Matrisen \displaystyle B ges alltså av
B=\begin{pmatrix} s+t&s\\3s&t\end{pmatrix}= s \begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Alltså ges de matriser \displaystyle B som kommuterar med \displaystyle A av de som är en linjärkombination av matriserna
\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}. Om vi sätter in \displaystyle s=1 och \displaystyle t=2 i
\displaystyle B så får vi matrisen \displaystyle A.
