Tips och lösning till U 7.5b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Återigen låter vi \displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}.
Då är \displaystyle A^2=\begin{pmatrix} {a^2+bc} & {b(a+d)} \\ {c(a+d)} & {bc+d^2} \end{pmatrix}
och
A^2=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix} {a^2+bc} & {b(a+d)} \\ {c(a+d)} & {bc+d^2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& -4\\ 0&1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}a^2+bc&=&1\quad(1)\\b(a+d)&=&-4\quad(2)\\c(a+d)&=&0\quad(3)\\bc+d^2&=&1\quad(4)\end{array}\right.\qquad(*)
Ekvation (3) är uppfylld om \displaystyle c=0 eller \displaystyle a+d=0. Vi börjar med
Fall 1: Antag att \displaystyle a+d=0. Då får vi motsägelse i ekvation
(2) och därmed saknar systemet (*) lösning.
Fall 2: Antag att \displaystyle c=0. Då kan systemet (*) skrivas
\left\{\begin{array}{rcr}a^2&=&1\quad(1)\\b(a+d)&=&-4\quad(2)\\d^2&=&1\quad(4)\end{array}\right.\qquad(*)
Ur ekvation (2) följer att \displaystyle b\neq0 och \displaystyle a+d\neq0. Därmed har vi
följande lösningar för ekvation (1) och (4), \displaystyle a=d=1 och \displaystyle a=d=-1. Vi
sätter in dessa värden i ekvation (3) och får följande lösning för
systemet (*), \displaystyle a=d=1, \displaystyle b=-2 och \displaystyle a=d=-1, \displaystyle b=2.
Alltså, matriserna \displaystyle A=\pm \begin{pmatrix} 1 &{-2}\\0&1 \end{pmatrix} uppfyller \displaystyle A^2=B.
