Tips och lösning till U 7.2
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
För en matris B som kommuterar med matrisen A gäller att \displaystyle AB=BA. Observera att enhetsmatrisen och matrisen själv är triviala exempel på matrisen B, som gäller alla matriser.
Tips 2
För att finna övriga matriser som kommuterar med A så ansätter du en godtycklig 2x2 matris.
Tips 3
Låt tex \displaystyle B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}. Med \displaystyle AB=BA erhåller du ett ekvationssystem som skall lösas. Du kommer att få flera lösningar till ekvationssystemet, dvs flera matriser som kommuterar med matrisen A. Kontrollera din lösning genom att tex kontrollera att enhetsmatrisen och matrisen A erhålles bland de matriser du får fram.
Lösning
En matris som kommuterar med alla matriser är förstås enhetsmatrisen, ty \displaystyle A, ty \displaystyle AE=EA. En annan matris som kommuterar med \displaystyle A är matrisen själv, ty \displaystyle AA=AA. Vi tar och bestämmer alla matriser \displaystyle B som kommunterar med \displaystyle A, dvs \displaystyle AB=BA.
Låt \displaystyle B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}. Det gäller att
AB=BA\Leftrightarrow \begin{pmatrix}1&2\\4&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\4&7\end{pmatrix}
\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\4a+7c&4b+7d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+4b&2a+7b\\c+4d&2c+7d\end{pmatrix} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}{-4b+2c}&{-2a-6b+2d}&0&0\\{4a-6c-4d}&{4b-2c}&0&0\end{array}\right).
Varje komponent i systemet måste alltså uppfylla
\left\{\begin{array}{rcl}-4b+2c&=&0\\-2a-6c+2d&=&0\\4a-6b-4d&=&0\\4b-2c&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}2b-c&=&0\\a+3c-d&=&0\end{array}\right.
Detta ger att \displaystyle c=2b och \displaystyle a=-3c+d.
Sätter vi \displaystyle d=t och \displaystyle b=s får vi \displaystyle c=2s och \displaystyle a=-3s+t.
Matrisen \displaystyle B ges alltså av
B=\begin{pmatrix}{-3s+t}&{s}\\{2s}&{t}\end{pmatrix} =s \begin{pmatrix}{-3}&1\\2&0 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}.
Alltså ges de matriser \displaystyle B som kommuterar med \displaystyle A av de som är en linjärkombination av matriserna
\displaystyle \begin{pmatrix}{-3}&1\\2&0 \end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}.
Observera att om sätter \displaystyle s=2 och \displaystyle t=7 i \displaystyle B så får vi tillbaka matrisen \displaystyle A.
Alla matrsier \displaystyle C\neq\begin{pmatrix}{-3s+t}&{s}\\{2s}&{t}\end{pmatrix}
kommuterar inte med \displaystyle A. T.ex., \displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.
