Tips och lösning till U 7.5a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Sätt tex \displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}.
Tips 2 Du erhåller då
Tips 3
Eftersom ekvationssystemet inte är linjärt så får du söka egna vägar. En lämplig sådan kan vara att dela upp i två fall där du antar att \displaystyle a+d=0 respektive \displaystyle a+d\neq0. Du avslutar lösningen genom att kontrollera att \displaystyle A^2=B.
Lösning
Låt \displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}.
Då är \displaystyle A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}
och
A^2=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\b(a+d)&=&0\quad(2)\\c(a+d)&=&0\quad(3)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right.\qquad(*)
Fall 1: Antag att \displaystyle a+d=0, dvs \displaystyle a=-d. Då är ekvation (2) och (3)
uppfyllda.
Systemet (*) kan då skrivas där ekvation (1) och (4) blir
\left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+a^2&=&4\quad(4)\end{array}\right.
Detta är en motsägelse, så att systemet (*) saknar lösning.
Fall 2: Antag att \displaystyle a+d\neq0. Då följer av ekvation (2) och (3) att \displaystyle b=0 resp. \displaystyle c=0. Systemet (*) kan nu skrivas
\left\{\begin{array}{rcl}a^2&=&9\quad(1)\\d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a&=&\pm3\quad(1)\\d&=&\pm2\quad(4)\end{array}\right.
Alltså finns det fyra varianter
\displaystyle A=\begin{pmatrix} \pm3&0\\0&\pm2\end{pmatrix} som uppfyller \displaystyle A^2=B.
Observera att vii såg i Övning 7.4 a) att om \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix}, så är \displaystyle B=A^2=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix}.
