Slaskövning7

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (2 oktober 2010 kl. 16.59) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 32: Rad 32:
<div class="ovning">
<div class="ovning">
===Övning 7.2===
===Övning 7.2===
-
Bestäm en <math>2\times2</math> matris som kommuterar och en som inte kommuterar med <math>\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right). </math></div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U7.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.2}}
+
Bestäm alla matriser som kommuterar med <math>A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right)</math>
 +
Ange också en matris som inte kommuterar med <math>A</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U7.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.2}}
Rad 182: Rad 184:
===Övning 7.12===
===Övning 7.12===
Antag att <math>A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)</math> och <math>B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}</math>.
Antag att <math>A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)</math> och <math>B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}</math>.
- 
Bestäm alla lösningar till ekvationerna
Bestäm alla lösningar till ekvationerna

Nuvarande version

Innehåll

Övning 7.1

Bestäm typerna av följande matriser:

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\2&4\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{rrr}2&5&9\\3&1&2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{rrr}1&2&7\\-1&4&3\\-1&-1&-1\end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{rrr}1\\3\\4\end{array}\right),\quad F=(0\ 2\ 3).

Beräkna också följande matriser om de är definierade

a) \displaystyle AB b) \displaystyle BA c) \displaystyle AC
d) \displaystyle C^2 e) \displaystyle DF f) \displaystyle FD


Övning 7.2

Bestäm alla matriser som kommuterar med \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right) Ange också en matris som inte kommuterar med \displaystyle A.


Övning 7.3

Bestäm alla matriser som kommuterar med \displaystyle \left(\begin{array}{rr}2&1\\3&2\end{array}\right).


Övning 7.4

Bestäm \displaystyle A^n där \displaystyle n är ett positivt heltal om

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix} b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}


Övning 7.5

Bestäm en \displaystyle 2\times2 matris \displaystyle A sådan att \displaystyle A^2=B om

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix} b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix}


Övning 7.6

Betrakta matriserna

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}.

Beräkna också följande matriser om de är definierade

a) \displaystyle A^t b) \displaystyle B^t c) \displaystyle C^t
d) \displaystyle D^t e) \displaystyle (AB)^t f) \displaystyle B^tA
g) \displaystyle AA^t h) \displaystyle A^tA i) \displaystyle DD^t
j) \displaystyle D^tD k) \displaystyle CD l) \displaystyle D^tC


Övning 7.7

Avgör vilka av följande matriser som är inverterbara och bestäm inverserna i förekommande fall

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix} b) \displaystyle B= \begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix} c) \displaystyle C= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}


Övning 7.8

Lös matrisekvationen \displaystyle AXB=C, med

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}.


Övning 7.9

Lös matrisekvationen \displaystyle AX=B, där

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}



Övning 7.10

Lös matrisekvationen \displaystyle XA=B, där

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right).


Övning 7.11

Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle XA=B, där

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}.


Övning 7.12

Antag att \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right) och \displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar till ekvationerna

a) \displaystyle AX=B b) \displaystyle BX=A


Övning 7.13

Bestäm det polynom \displaystyle P(x) av lägst grad, för vilket gäller

\displaystyle

P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1.


Övning 7.14

Bestäm konstanterna \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c och \displaystyle d, så att likheten

\displaystyle

1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3

gäller för alla heltal \displaystyle n\geq1.


Övning 7.15

Visa att om \displaystyle A är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.

a) \displaystyle A+A^t b) \displaystyle AA^t


Övning 7.16

Visa att om \displaystyle A är en symmetrisk matris så är \displaystyle B^tAB symmetrisk för varje matris \displaystyle B för vilken produkterna gäller.


Övning 7.17

En kvadratisk matris \displaystyle A kallas Skevsymmetrisk om \displaystyle A^t=-A.

a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.

b) Visa att om \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n skevsymmetriska matriser så är även \displaystyle A+B en skevsymmetrisk matris.

c) Visa att om \displaystyle A är kvadratisk så är \displaystyle A-A^t skevsymmetrisk.

d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.



Övning 7.18

Spåret till en kvadratisk matris \displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n} definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas \displaystyle \mbox{sp}(A), dvs

\displaystyle \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n matriser. Visa att

a) \displaystyle \mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B).

b) \displaystyle \mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A), där \displaystyle \lambda\in{\bf R}.

c) \displaystyle A och \displaystyle B inte kan uppfylla

\displaystyle AB-BA=E.


Övning 7.19

Bestäm talen \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c så att matrisen

\displaystyle

\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}

blir ortogonal.


Övning 7.20

Ge exempel på två matriser \displaystyle A och \displaystyle B som är både symmetriska och ortogonala, där \displaystyle A är av typen \displaystyle 2\times2 och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3 (\displaystyle A och \displaystyle B ej enhetsmatriser).