Slaskövning7
SamverkanLinalgLIU
| (19 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
|- | |- | ||
|d) | |d) | ||
| - | || <math> | + | || <math>C^2</math> |
|e) | |e) | ||
|| <math>DF</math> | || <math>DF</math> | ||
| Rad 32: | Rad 32: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
===Övning 7.2=== | ===Övning 7.2=== | ||
| - | Bestäm | + | Bestäm alla matriser som kommuterar med <math>A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right)</math> |
| + | Ange också en matris som inte kommuterar med <math>A</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U7.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.2}} | ||
| Rad 73: | Rad 75: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad | A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad | ||
| - | B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix} | + | B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}. |
</math></center> | </math></center> | ||
| Rad 107: | Rad 109: | ||
|| <math>D^tC</math> | || <math>D^tC</math> | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7. | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.6|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.6a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.6b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.6c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.6d|Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 7.6e|Tips och lösning till f)|Tips och lösning till U 7.6f|Tips och lösning till g)|Tips och lösning till U 7.6g |Tips och lösning till h)|Tips och lösning till U 7.6h|Tips och lösning till i)|Tips och lösning till U 7.6i|Tips och lösning till j)|Tips och lösning till U 7.6j|Tips och lösning till k)|Tips och lösning till U 7.6k|Tips och lösning till l)|Tips och lösning till U 7.6l}} |
| Rad 124: | Rad 126: | ||
</math> | </math> | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.7a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.7b|Tips och lösning till | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.7a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.7b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.7c}} |
| Rad 159: | Rad 161: | ||
Lös matrisekvationen <math>XA=B</math>, där | Lös matrisekvationen <math>XA=B</math>, där | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| - | A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&\end{pmatrix},\qquad | + | A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad |
B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right). | B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right). | ||
| - | < | + | </math> </center> |
</div>{{#NAVCONTENT: | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
Svar|Svar till U 7.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.10}} | Svar|Svar till U 7.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.10}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.11=== | ||
| + | Bestäm alla lösningar till matrisekvationen <math>XA=B</math>, där | ||
| + | <center><math> | ||
| + | A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad | ||
| + | B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}. | ||
| + | </math> </center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 7.11| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.11}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.12=== | ||
| + | Antag att <math>A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)</math> och <math>B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}</math>. | ||
| + | Bestäm alla lösningar till ekvationerna | ||
| + | |||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="50%"| <math>AX=B</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="50%"| <math>BX=A</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.12|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.12a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.12b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.13=== | ||
| + | Bestäm det polynom <math>P(x)</math> av lägst grad, för vilket gäller | ||
| + | <center><math> | ||
| + | P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.13|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.13}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.14=== | ||
| + | Bestäm konstanterna <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> och <math>d</math>, så att | ||
| + | likheten | ||
| + | <center><math> | ||
| + | 1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3 | ||
| + | </math> </center> | ||
| + | gäller för alla heltal <math>n\geq1</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.14|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.14}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.15=== | ||
| + | Visa att om <math>A</math> är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska. | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="50%"| <math>A+A^t</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="50%"| <math>AA^t</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.15a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.15b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.16=== | ||
| + | Visa att om <math>A</math> är en symmetrisk matris så är <math>B^tAB</math> symmetrisk för varje matris <math>B</math> för vilken produkterna gäller. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.16|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.16}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.17=== | ||
| + | En kvadratisk matris <math>A</math> kallas '''Skevsymmetrisk''' om <math>A^t=-A</math>. | ||
| + | |||
| + | a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0. | ||
| + | |||
| + | b) Visa att om <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> skevsymmetriska matriser så är även <math>A+B</math> en skevsymmetrisk matris. | ||
| + | |||
| + | c) Visa att om <math>A</math> är kvadratisk så är <math>A-A^t</math> skevsymmetrisk. | ||
| + | |||
| + | d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.17a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.17b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.17c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.17d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.18=== | ||
| + | '''Spåret''' till en kvadratisk matris <math>A=(a_{ij})_{n\times n}</math> | ||
| + | definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas | ||
| + | <math>\mbox{sp}(A)</math>, dvs | ||
| + | <center><math> \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.</math></center> | ||
| + | Antag att <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> matriser. Visa att | ||
| + | |||
| + | a) <math>\mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B)</math>. | ||
| + | |||
| + | b) <math>\mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A)</math>, där | ||
| + | <math>\lambda\in{\bf R}</math>. | ||
| + | |||
| + | c) <math>A</math> och <math>B</math> inte kan uppfylla | ||
| + | <center><math> AB-BA=E. </math> </center> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.18|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.18a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.18b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.18c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.19=== | ||
| + | Bestäm talen <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> så att | ||
| + | matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix} | ||
| + | </math> </center> | ||
| + | blir ortogonal. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.19|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.19}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.20=== | ||
| + | Ge exempel på två matriser <math>A</math> och <math>B</math> | ||
| + | som är både symmetriska och ortogonala, där | ||
| + | <math>A</math> är av typen <math>2\times2</math> och <math>B</math> är av typen | ||
| + | <math>3\times3</math> (<math>A</math> och <math>B</math> ej enhetsmatriser). | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.20|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.20}} | ||
Nuvarande version
Innehåll |
Övning 7.1
Bestäm typerna av följande matriser:
\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\2&4\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{rrr}2&5&9\\3&1&2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{rrr}1&2&7\\-1&4&3\\-1&-1&-1\end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{rrr}1\\3\\4\end{array}\right),\quad F=(0\ 2\ 3).
Beräkna också följande matriser om de är definierade
| a) | \displaystyle AB | b) | \displaystyle BA | c) | \displaystyle AC |
| d) | \displaystyle C^2 | e) | \displaystyle DF | f) | \displaystyle FD |
Hämtar...
Övning 7.2
Bestäm alla matriser som kommuterar med \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right) Ange också en matris som inte kommuterar med \displaystyle A.
Övning 7.3
Bestäm alla matriser som kommuterar med \displaystyle \left(\begin{array}{rr}2&1\\3&2\end{array}\right).
Övning 7.4
Bestäm \displaystyle A^n där \displaystyle n är ett positivt heltal om
| a) | \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix} | b) | \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} |
Övning 7.5
Bestäm en \displaystyle 2\times2 matris \displaystyle A sådan att \displaystyle A^2=B om
| a) | \displaystyle A=\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix} | b) | \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix} |
Övning 7.6
Betrakta matriserna
A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}.
Beräkna också följande matriser om de är definierade
| a) | \displaystyle A^t | b) | \displaystyle B^t | c) | \displaystyle C^t |
| d) | \displaystyle D^t | e) | \displaystyle (AB)^t | f) | \displaystyle B^tA |
| g) | \displaystyle AA^t | h) | \displaystyle A^tA | i) | \displaystyle DD^t |
| j) | \displaystyle D^tD | k) | \displaystyle CD | l) | \displaystyle D^tC |
Övning 7.7
Avgör vilka av följande matriser som är inverterbara och bestäm inverserna i förekommande fall
| a) | \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix} | b) | \displaystyle B= \begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix} | c) | \displaystyle C= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix} |
Övning 7.8
Lös matrisekvationen \displaystyle AXB=C, med
A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}.
Övning 7.9
Lös matrisekvationen \displaystyle AX=B, där
A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}
Övning 7.10
Lös matrisekvationen \displaystyle XA=B, där
A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right).
Övning 7.11
Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle XA=B, där
A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}.
Övning 7.12
Antag att \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right) och \displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar till ekvationerna
| a) | \displaystyle AX=B | b) | \displaystyle BX=A |
Övning 7.13
Bestäm det polynom \displaystyle P(x) av lägst grad, för vilket gäller
P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1.
Övning 7.14
Bestäm konstanterna \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c och \displaystyle d, så att likheten
1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3
gäller för alla heltal \displaystyle n\geq1.
Övning 7.15
Visa att om \displaystyle A är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.
| a) | \displaystyle A+A^t | b) | \displaystyle AA^t |
Övning 7.16
Visa att om \displaystyle A är en symmetrisk matris så är \displaystyle B^tAB symmetrisk för varje matris \displaystyle B för vilken produkterna gäller.
Övning 7.17
En kvadratisk matris \displaystyle A kallas Skevsymmetrisk om \displaystyle A^t=-A.
a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.
b) Visa att om \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n skevsymmetriska matriser så är även \displaystyle A+B en skevsymmetrisk matris.
c) Visa att om \displaystyle A är kvadratisk så är \displaystyle A-A^t skevsymmetrisk.
d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.
Övning 7.18
Spåret till en kvadratisk matris \displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n} definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas \displaystyle \mbox{sp}(A), dvs
Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n matriser. Visa att
a) \displaystyle \mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B).
b) \displaystyle \mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A), där \displaystyle \lambda\in{\bf R}.
c) \displaystyle A och \displaystyle B inte kan uppfylla
Övning 7.19
Bestäm talen \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c så att matrisen
\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}
blir ortogonal.
Övning 7.20
Ge exempel på två matriser \displaystyle A och \displaystyle B som är både symmetriska och ortogonala, där \displaystyle A är av typen \displaystyle 2\times2 och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3 (\displaystyle A och \displaystyle B ej enhetsmatriser).
