Slaskövning7

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (2 oktober 2010 kl. 16.59) (redigera) (ogör)
 
(29 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 4: Rad 4:
<math>
<math>
-
A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\[10pt]0&1\\2&4\end{array}\right),\quad
+
A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\2&4\end{array}\right),\quad
B=\left(\begin{array}{rrr}2&5&9\\3&1&2\end{array}\right),\quad
B=\left(\begin{array}{rrr}2&5&9\\3&1&2\end{array}\right),\quad
C=\left(\begin{array}{rrr}1&2&7\\-1&4&3\\-1&-1&-1\end{array}\right),\quad
C=\left(\begin{array}{rrr}1&2&7\\-1&4&3\\-1&-1&-1\end{array}\right),\quad
Rad 21: Rad 21:
|-
|-
|d)
|d)
-
|| <math>CD</math>
+
|| <math>C^2</math>
|e)
|e)
|| <math>DF</math>
|| <math>DF</math>
Rad 28: Rad 28:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.1c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.1d|Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 7.1e|Tips och lösning till f)|Tips och lösning till U 7.1f}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.1c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.1d|Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 7.1e|Tips och lösning till f)|Tips och lösning till U 7.1f}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.2===
 +
Bestäm alla matriser som kommuterar med <math>A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right)</math>
 +
Ange också en matris som inte kommuterar med <math>A</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U7.2|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.2}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.3===
 +
Bestäm alla matriser som kommuterar med <math>\left(\begin{array}{rr}2&1\\3&2\end{array}\right)</math>.</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.3|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.3}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.4===
 +
Bestäm <math>A^n</math> där <math>n</math> är ett positivt heltal om
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>A=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.4|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.4a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.4b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.5===
 +
Bestäm en <math>2\times2</math> matris <math>A</math> sådan att <math>A^2=B</math> om
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>A=\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>A=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.5|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.5a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.5b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.6===
 +
Betrakta matriserna
 +
 +
<center><math>
 +
A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}.
 +
</math></center>
 +
 +
Beräkna också följande matriser om de är definierade
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%"| <math>A^t</math>
 +
|b)
 +
|width="33%"| <math>B^t</math>
 +
|c)
 +
|width="33%"| <math>C^t</math>
 +
|-
 +
|d)
 +
|| <math>D^t</math>
 +
|e)
 +
|| <math>(AB)^t</math>
 +
|f)
 +
|| <math>B^tA</math>
 +
|-
 +
|g)
 +
|| <math>AA^t</math>
 +
|h)
 +
|| <math>A^tA</math>
 +
|i)
 +
|| <math>DD^t</math>
 +
|-
 +
|j)
 +
|| <math>D^tD</math>
 +
|k)
 +
|| <math>CD</math>
 +
|l)
 +
|| <math>D^tC</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.6|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.6a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.6b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.6c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.6d|Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 7.6e|Tips och lösning till f)|Tips och lösning till U 7.6f|Tips och lösning till g)|Tips och lösning till U 7.6g |Tips och lösning till h)|Tips och lösning till U 7.6h|Tips och lösning till i)|Tips och lösning till U 7.6i|Tips och lösning till j)|Tips och lösning till U 7.6j|Tips och lösning till k)|Tips och lösning till U 7.6k|Tips och lösning till l)|Tips och lösning till U 7.6l}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.7===
 +
Avgör vilka av följande matriser som är inverterbara och bestäm
 +
inverserna i förekommande fall
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%"| <math>A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="33%"| <math>B= \begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix} </math>
 +
|c)
 +
|width="33%"| <math>C= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.7a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.7b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.7c}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.8===
 +
Lös matrisekvationen <math>AXB=C</math>, med
 +
<center><math>
 +
A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix},\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\qquad
 +
C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.8|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.8}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.9===
 +
Lös matrisekvationen <math>AX=B</math>, där
 +
<center><math>
 +
A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.9|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.9}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.10===
 +
Lös matrisekvationen <math>XA=B</math>, där
 +
<center><math>
 +
A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad
 +
B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right).
 +
</math> </center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.10}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.11===
 +
Bestäm alla lösningar till matrisekvationen <math>XA=B</math>, där
 +
<center><math>
 +
A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad
 +
B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}.
 +
</math> </center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 7.11|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.11}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.12===
 +
Antag att <math>A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)</math> och <math>B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}</math>.
 +
Bestäm alla lösningar till ekvationerna
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>AX=B</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>BX=A</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.12|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.12a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.12b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.13===
 +
Bestäm det polynom <math>P(x)</math> av lägst grad, för vilket gäller
 +
<center><math>
 +
P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.13|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.13}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.14===
 +
Bestäm konstanterna <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> och <math>d</math>, så att
 +
likheten
 +
<center><math>
 +
1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3
 +
</math> </center>
 +
gäller för alla heltal <math>n\geq1</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.14|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.14}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.15===
 +
Visa att om <math>A</math> är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>A+A^t</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>AA^t</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.15a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.15b}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.16===
 +
Visa att om <math>A</math> är en symmetrisk matris så är <math>B^tAB</math> symmetrisk för varje matris <math>B</math> för vilken produkterna gäller.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.16|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.16}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.17===
 +
En kvadratisk matris <math>A</math> kallas '''Skevsymmetrisk''' om <math>A^t=-A</math>.
 +
 +
a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.
 +
 +
b) Visa att om <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> skevsymmetriska matriser så är även <math>A+B</math> en skevsymmetrisk matris.
 +
 +
c) Visa att om <math>A</math> är kvadratisk så är <math>A-A^t</math> skevsymmetrisk.
 +
 +
d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.
 +
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.17a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.17b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.17c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.17d}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.18===
 +
'''Spåret''' till en kvadratisk matris <math>A=(a_{ij})_{n\times n}</math>
 +
definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas
 +
<math>\mbox{sp}(A)</math>, dvs
 +
<center><math> \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.</math></center>
 +
Antag att <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> matriser. Visa att
 +
 +
a) <math>\mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B)</math>.
 +
 +
b) <math>\mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A)</math>, där
 +
<math>\lambda\in{\bf R}</math>.
 +
 +
c) <math>A</math> och <math>B</math> inte kan uppfylla
 +
<center><math> AB-BA=E. </math> </center>
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.18|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.18a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.18b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.18c}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.19===
 +
Bestäm talen <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> så att
 +
matrisen
 +
<center><math>
 +
\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}
 +
</math> </center>
 +
blir ortogonal.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.19|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.19}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 7.20===
 +
Ge exempel på två matriser <math>A</math> och <math>B</math>
 +
som är både symmetriska och ortogonala, där
 +
<math>A</math> är av typen <math>2\times2</math> och <math>B</math> är av typen
 +
<math>3\times3</math> (<math>A</math> och <math>B</math> ej enhetsmatriser).
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.20|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.20}}

Nuvarande version

Innehåll

Övning 7.1

Bestäm typerna av följande matriser:

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\2&4\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{rrr}2&5&9\\3&1&2\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{rrr}1&2&7\\-1&4&3\\-1&-1&-1\end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{rrr}1\\3\\4\end{array}\right),\quad F=(0\ 2\ 3).

Beräkna också följande matriser om de är definierade

a) \displaystyle AB b) \displaystyle BA c) \displaystyle AC
d) \displaystyle C^2 e) \displaystyle DF f) \displaystyle FD
Svar
Svar till U 7.1
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.1a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.1b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 7.1c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 7.1d
Tips och lösning till e)
Tips och lösning till U 7.1e
Tips och lösning till f)
Tips och lösning till U 7.1f


Övning 7.2

Bestäm alla matriser som kommuterar med \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\4&7\end{array}\right) Ange också en matris som inte kommuterar med \displaystyle A.

Svar
Svar till U7.2
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.2


Övning 7.3

Bestäm alla matriser som kommuterar med \displaystyle \left(\begin{array}{rr}2&1\\3&2\end{array}\right).
Svar
Svar till U 7.3
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.3


Övning 7.4

Bestäm \displaystyle A^n där \displaystyle n är ett positivt heltal om

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix} b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
Svar
Svar till U 7.4
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.4a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.4b


Övning 7.5

Bestäm en \displaystyle 2\times2 matris \displaystyle A sådan att \displaystyle A^2=B om

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix} b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix}
Svar
Svar till U 7.5
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.5a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.5b


Övning 7.6

Betrakta matriserna

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&4\\5&6\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\{-3}&{-6}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}.

Beräkna också följande matriser om de är definierade

a) \displaystyle A^t b) \displaystyle B^t c) \displaystyle C^t
d) \displaystyle D^t e) \displaystyle (AB)^t f) \displaystyle B^tA
g) \displaystyle AA^t h) \displaystyle A^tA i) \displaystyle DD^t
j) \displaystyle D^tD k) \displaystyle CD l) \displaystyle D^tC
Svar
Svar till U 7.6
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.6a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.6b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 7.6c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 7.6d
Tips och lösning till e)
Tips och lösning till U 7.6e
Tips och lösning till f)
Tips och lösning till U 7.6f
Tips och lösning till g)
Tips och lösning till U 7.6g
Tips och lösning till h)
Tips och lösning till U 7.6h
Tips och lösning till i)
Tips och lösning till U 7.6i
Tips och lösning till j)
Tips och lösning till U 7.6j
Tips och lösning till k)
Tips och lösning till U 7.6k
Tips och lösning till l)
Tips och lösning till U 7.6l


Övning 7.7

Avgör vilka av följande matriser som är inverterbara och bestäm inverserna i förekommande fall

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix} b) \displaystyle B= \begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix} c) \displaystyle C= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}

Svar
Svar till U 7.7
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.7a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.7b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 7.7c


Övning 7.8

Lös matrisekvationen \displaystyle AXB=C, med

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}.

Svar
Svar till U 7.8
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.8


Övning 7.9

Lös matrisekvationen \displaystyle AX=B, där

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}

Svar
Svar till U 7.9
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.9



Övning 7.10

Lös matrisekvationen \displaystyle XA=B, där

\displaystyle

A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad B=\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&3\\4&3&2\end{array}\right).

Svar
Svar till U 7.10
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.10


Övning 7.11

Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle XA=B, där

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\-1&3\\1&-2\end{array}\right),\qquad B=\begin{pmatrix}3&{-6}\\{-2}&6\end{pmatrix}.

Svar
Svar till U 7.11
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.11


Övning 7.12

Antag att \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right) och \displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2&4\\2&3&4\\1&4&7\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar till ekvationerna

a) \displaystyle AX=B b) \displaystyle BX=A
Svar
Svar till U 7.12
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.12a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.12b


Övning 7.13

Bestäm det polynom \displaystyle P(x) av lägst grad, för vilket gäller

\displaystyle

P(-2)=-5,\quad P(-1)=5,\quad P(1)=1,\quad P(2)=-1.

Svar
Svar till U 7.13
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.13


Övning 7.14

Bestäm konstanterna \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c och \displaystyle d, så att likheten

\displaystyle

1+2+3+\cdots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3

gäller för alla heltal \displaystyle n\geq1.

Svar
Svar till U 7.14
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.14


Övning 7.15

Visa att om \displaystyle A är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.

a) \displaystyle A+A^t b) \displaystyle AA^t
Svar
Svar till U 7.15
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.15a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.15b


Övning 7.16

Visa att om \displaystyle A är en symmetrisk matris så är \displaystyle B^tAB symmetrisk för varje matris \displaystyle B för vilken produkterna gäller.

Svar
Svar till U 7.16
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.16


Övning 7.17

En kvadratisk matris \displaystyle A kallas Skevsymmetrisk om \displaystyle A^t=-A.

a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.

b) Visa att om \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n skevsymmetriska matriser så är även \displaystyle A+B en skevsymmetrisk matris.

c) Visa att om \displaystyle A är kvadratisk så är \displaystyle A-A^t skevsymmetrisk.

d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.


Svar
Svar till U 7.17
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.17a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.17b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 7.17c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 7.17d


Övning 7.18

Spåret till en kvadratisk matris \displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n} definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas \displaystyle \mbox{sp}(A), dvs

\displaystyle \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n matriser. Visa att

a) \displaystyle \mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B).

b) \displaystyle \mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A), där \displaystyle \lambda\in{\bf R}.

c) \displaystyle A och \displaystyle B inte kan uppfylla

\displaystyle AB-BA=E.
Svar
Svar till U 7.18
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 7.18a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 7.18b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 7.18c


Övning 7.19

Bestäm talen \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c så att matrisen

\displaystyle

\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}

blir ortogonal.

Svar
Svar till U 7.19
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.19


Övning 7.20

Ge exempel på två matriser \displaystyle A och \displaystyle B som är både symmetriska och ortogonala, där \displaystyle A är av typen \displaystyle 2\times2 och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3 (\displaystyle A och \displaystyle B ej enhetsmatriser).

Svar
Svar till U 7.20
Tips och lösning
Tips och lösning till U 7.20
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning7