Övningar Kapitel 1
Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | ==Avsnitt 1.2 Heltalen== | ||
===Övning 1.2.1=== | ===Övning 1.2.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 38: | Rad 39: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.2.2a | Lösning | Lösning 1.2.2a}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.2.2a | Lösning | Lösning 1.2.2a}} | ||
| - | ===Övning 1.2.5=== | + | ===Övning 1.2.5*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Beräkna | Beräkna | ||
| Rad 53: | Rad 54: | ||
| + | ==Avsnitt 1.3 Primtal== | ||
===Övning 1.3.1=== | ===Övning 1.3.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 72: | Rad 74: | ||
| + | ==Avsnitt 1.4 Moduloräkning== | ||
===Övning 1.4.1=== | ===Övning 1.4.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 111: | Rad 114: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.4 | Svar b) | Svar 1.4.b | Lösning a) | Lösning 1.4.1.a | Lösning b) | Lösning 1.4.1.b}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.4 | Svar b) | Svar 1.4.b | Lösning a) | Lösning 1.4.1.a | Lösning b) | Lösning 1.4.1.b}} | ||
| - | ===Övning 1.4.4=== | + | ===Övning 1.4.4*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 123: | Rad 126: | ||
Lösning 1.4.2.b}} | Lösning 1.4.2.b}} | ||
| - | ===Övning 1.4.5=== | + | ===Övning 1.4.5*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 137: | Rad 140: | ||
| + | ==Avsnitt 1.5 Representation av heltal== | ||
===Övning 1.5.1=== | ===Övning 1.5.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 170: | Rad 174: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1 | Svar b) | Svar 1.5.1.b | Lösning a) | Lösning 1.5.1.a | Lösning b) | Lösning 1.5.1.b}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1 | Svar b) | Svar 1.5.1.b | Lösning a) | Lösning 1.5.1.a | Lösning b) | Lösning 1.5.1.b}} | ||
| - | + | ==Avsnitt 1.8 Komplexa tal== | |
===Övning 1.8.1=== | ===Övning 1.8.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 206: | Rad 210: | ||
| b) | | b) | ||
| Är <math>3+3i </math> ett reellt eller ett komplext tal? | | Är <math>3+3i </math> ett reellt eller ett komplext tal? | ||
| - | | c) | ||
| - | | Hitta alla komplexa rötter till <math>p(z) = z^3+z=0 </math>. Hur många reella rötter har <math>p(z)</math> Hur många komplexa rötter har den? | ||
| - | Kan en funktion ha fler reella än komplexa rötter? | ||
| - | |||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.8.5 | Svar b) | Svar 1.8.5a | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.8.5 | Svar b) | Svar 1.8.5a | Lösning a) | Lösning 1.8.5a | Lösning b) | Lösning 1.8.5b }} |
===Övning 1.8.5=== | ===Övning 1.8.5=== | ||
| Rad 244: | Rad 244: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e | Lösning a)| Lösning 1.9.4a | Lösning b) | Lösning 1.9.4b | Lösning c) | Lösning 1.9.4c | Lösning d) | Lösning 1.9.4d | Lösning e) | Lösning 1.9.4e}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e | Lösning a)| Lösning 1.9.4a | Lösning b) | Lösning 1.9.4b | Lösning c) | Lösning 1.9.4c | Lösning d) | Lösning 1.9.4d | Lösning e) | Lösning 1.9.4e}} | ||
| - | ===Övning 1.8.7=== | + | ===Övning 1.8.7*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir <math>-1</math>, och därför införde man talet <math>i</math>, definierat som <math>\sqrt{-1}</math>. | Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir <math>-1</math>, och därför införde man talet <math>i</math>, definierat som <math>\sqrt{-1}</math>. | ||
| Rad 255: | Rad 255: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning | Lösning 1.8.3a}} | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning | Lösning 1.8.3a}} | ||
| - | ===Övning 1.8.8 === | + | ===Övning 1.8.8*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 263: | Rad 263: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.1 | Lösning | Lösning 1.8.1 | Tips | Tips 1.8.1}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.1 | Lösning | Lösning 1.8.1 | Tips | Tips 1.8.1}} | ||
| - | ===Övning 1.8.9 === | + | ===Övning 1.8.9*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 271: | Rad 271: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.3 | Lösning | Lösning 1.8.3}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.3 | Lösning | Lösning 1.8.3}} | ||
| - | ===Övning 1.8.10 === | + | ===Övning 1.8.10*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 281: | Rad 281: | ||
| + | ==Avsnitt 1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna== | ||
===Övning 1.9.1 === | ===Övning 1.9.1 === | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Versionen från 27 juni 2012 kl. 14.18
Innehåll |
Avsnitt 1.2 Heltalen
Övning 1.2.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle(-3)(7+(-5)(-3+2)) | b) | \displaystyle \displaystyle (-a+2b)(-a+3b) |
Hämtar...Övning 1.2.2
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} | b) | \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} | c) | \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} | d) | \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} | e) | \displaystyle \displaystyle 4^{1,5} |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Svar e)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Lösning e)
Övning 1.2.3
Beräkna \displaystyle 2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}
Svar
Lösning
Övning 1.2.4
Vilken är störst, \displaystyle 1343488^{3/2+4/3-17/6} eller \displaystyle 3/2?
Svar
Lösning
Övning 1.2.5*
Beräkna
| a) | Betrakta operationen \displaystyle a \bigstar b = a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att \displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a) | b) | Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att \displaystyle (a\bigstar b)\bigstar c=a\bigstar(b\bigstar c)) | c) | Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om \displaystyle a\bigstar(b+c)=a\bigstar b + a\bigstar c) |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Avsnitt 1.3 Primtal
Övning 1.3.1
Primtalsfaktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle 1024 | b) | \displaystyle \displaystyle 1331 |
Övning 1.3.2
Hur många äkta delare har 23?
Svar
Avsnitt 1.4 Moduloräkning
Övning 1.4.1
Beräkna följande
| a) | 18 modulo 7 | b) | 345332233 modulo 2 | c) | 156 modulo 29 | d) | 334 modulo 10 |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Övning 1.4.2
Beräkna följande modulo 6
| a) | \displaystyle 36+23 | b) | \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} | c) | \displaystyle 5^{345}+55 |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Övning 1.4.3
| a) | Beräkna \displaystyle 38800\cdot5 modulo 3. | b) | Beräkna entalssiffran i talet \displaystyle 37^{120}. |
Övning 1.4.4*
| a) | Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
Lösning a)
Lösning b)
Övning 1.4.5*
| a) | Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med \displaystyle 3-5+4-7+8=-1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
Lösning a)
Lösning b)
Avsnitt 1.5 Representation av heltal
Övning 1.5.1
Kovertera följande tal till bas 5.
| a) | \displaystyle 4 | b) | \displaystyle 5 | c) | \displaystyle 125 | d) | \displaystyle 68 |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Övning 1.5.2
Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.
Övning 1.5.3
| a) | Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4. | b) | Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.
Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11. |
Avsnitt 1.8 Komplexa tal
Övning 1.8.1
Vad är realdelen/imaginärdelen till
| a) | \displaystyle \displaystyle -1+5i | b) | \displaystyle \displaystyle -\pi i |
Svar a)
Svar b)
Övning 1.8.2
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) | b) | \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i)) |
Övning 1.8.3
Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?
Övning 1.8.4
| a) | Är \displaystyle \sqrt{2} ett reellt eller komplext tal? | b) | Är \displaystyle 3+3i ett reellt eller ett komplext tal? |
Övning 1.8.5
| Låt \displaystyle z=a+bi. Vi vet att \displaystyle z/(3+4i)=2+i. Bestäm \displaystyle a och \displaystyle b. |
Svar
Lösning
Övning 1.8.6
Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
| a) | \displaystyle \text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z}) |
| b) | \displaystyle \text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z}) |
| c) | \displaystyle \text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) |
| d) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w} |
| e) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Svar e)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Lösning e)
Övning 1.8.7*
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.
Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?
Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.
Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!
Lösning
Övning 1.8.8*
| Förenkla \displaystyle (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012} |
Övning 1.8.9*
| För heltalsvärden på \displaystyle n, vilka värden kan \displaystyle i^n+i^{-n} anta? |
Svar
Lösning
Övning 1.8.10*
| Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom \displaystyle z_1 =0
och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME) |
Svar
Lösning
Avsnitt 1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
Övning 1.9.1
| a) | Utveckla \displaystyle (x+y)²-(x-y)² | b) | Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54. |
Övning 1.9.2
Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.
Svar
Lösning
Övning 1.9.3
Faktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle x^2+1 | b) | \displaystyle \displaystyle x^2+y^2 |
