Övningar Kapitel 1
Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
| (21 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | ==Avsnitt 1.2 Heltalen== | ||
===Övning 1.2.1=== | ===Övning 1.2.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 9: | Rad 10: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) |Svar 1.1 |Svar b) | Svar 1.1.b |Lösning | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) |Svar 1.1 |Svar b) | Svar 1.1.b |Lösning a) | Lösning 1.1a | Lösning b) | Lösning 1.1b}} |
===Övning 1.2.2=== | ===Övning 1.2.2=== | ||
| Rad 38: | Rad 39: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.2.2a | Lösning | Lösning 1.2.2a}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.2.2a | Lösning | Lösning 1.2.2a}} | ||
| - | ===Övning 1.2.5=== | + | ===Övning 1.2.5*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Beräkna | Beräkna | ||
| Rad 50: | Rad 51: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) |Svar 1. | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) |Svar 1.2 | Svar b) | Svar 1.2.b | Svar c) |Svar 1.2.c | Lösning a) | Lösning 1.2.a | Lösning b) | Lösning 1.2b | Lösning c) | Lösning 1.2c}} |
| + | ==Avsnitt 1.3 Primtal== | ||
===Övning 1.3.1=== | ===Övning 1.3.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 63: | Rad 65: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT: | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.3.1.a | Svar b) | Svar 1.3.1.b | Lösning a) | Lösning 1.2.1.a | Lösning b) | Lösning 1.2.1.b}} |
| - | Lösning 1.2.1.b}} | + | |
===Övning 1.3.2=== | ===Övning 1.3.2=== | ||
| Rad 70: | Rad 71: | ||
Hur många äkta delare har 23? | Hur många äkta delare har 23? | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT: | + | </div>{{#NAVCONTENT: Svar | Lösning 1.2.2}} |
| + | ==Avsnitt 1.4 Moduloräkning== | ||
===Övning 1.4.1=== | ===Övning 1.4.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 110: | Rad 112: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.4 | | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.4 | Svar b) | Svar 1.4.b | Lösning a) | Lösning 1.4.1.a | Lösning b) | Lösning 1.4.1.b}} |
| - | Lösning 1.4.1.b}} | + | |
| - | ===Övning 1.4.4=== | + | ===Övning 1.4.4*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 122: | Rad 123: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT: | + | </div>{{#NAVCONTENT: Lösning a) | Lösning 1.4.2.a | Lösning b) | |
Lösning 1.4.2.b}} | Lösning 1.4.2.b}} | ||
| - | ===Övning 1.4.5=== | + | ===Övning 1.4.5*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 135: | Rad 136: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT: | + | </div>{{#NAVCONTENT: Lösning a) | Lösning 1.4.3.a | Lösning b) | |
Lösning 1.4.3.b}} | Lösning 1.4.3.b}} | ||
| + | ==Avsnitt 1.5 Representation av heltal== | ||
===Övning 1.5.1=== | ===Övning 1.5.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Kovertera följande tal till bas | + | Kovertera följande tal till bas 2. |
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
|a) | |a) | ||
| - | | <math> | + | | <math>1</math> |
|b) | |b) | ||
| <math>5</math> | | <math>5</math> | ||
|c) | |c) | ||
| - | | <math> | + | | <math>128</math> |
|d) | |d) | ||
| - | |<math> | + | |<math>74</math> |
|} | |} | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1a | Svar b)| Svar 1.5.1b | Svar c)| Svar 1.5.1c | Svar d) | Svar 1.5.1d | Lösning a) | Lösning 1.5.1a | Lösning b)| Lösning 1.5.1b | Lösning c) | Lösning 1.5.1c | Lösning d) | Lösning 1.5.1d}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1a | Svar b)| Svar 1.5.1b | Svar c)| Svar 1.5.1c | Svar d) | Svar 1.5.1d | Lösning a) | Lösning 1.5.1a | Lösning b)| Lösning 1.5.1b | Lösning c) | Lösning 1.5.1c | Lösning d) | Lösning 1.5.1d}} | ||
===Övning 1.5.2=== | ===Övning 1.5.2=== | ||
| - | <div class="ovning"> | ||
| - | Beräkna <math>1002_3-234_5</math> och ge svaret i bas 8. | ||
| - | |||
| - | Tips: Konvertera talen till bas 10. | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.5.2a | Lösning | Lösning 1.5.2a}} | ||
| - | |||
| - | ===Övning 1.5.3=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 172: | Rad 167: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.5.1 | | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1 | Svar b) | Svar 1.5.1.b | Lösning a) | Lösning 1.5.1.a | Lösning b) | Lösning 1.5.1.b}} |
| - | Lösning 1.5.1. | + | |
| + | ===Övning 1.5.3*=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna <math>1002_3-234_5</math> och ge svaret i bas 8. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.5.2a | Lösning | Lösning 1.5.2a | Tips | Tips 1.5.2 }} | ||
| + | ==Avsnitt 1.8 Komplexa tal== | ||
===Övning 1.8.1=== | ===Övning 1.8.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Rad 185: | Rad 185: | ||
| <math>\displaystyle -\pi i</math> | | <math>\displaystyle -\pi i</math> | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT: | + | </div>{{#NAVCONTENT: Svar a)| Lösning 1.8.2a | Svar b) | Lösning 1.8.2b}} |
===Övning 1.8.2=== | ===Övning 1.8.2=== | ||
| Rad 196: | Rad 196: | ||
| <math>\displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i))</math> | | <math>\displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i))</math> | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 1.8.1a | Lösning b) | Lösning 1.8.1b}} | + | </div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 1.8.1.a | Svar b) | Svar 1.8.1.b | Lösning a)| Lösning 1.8.1a | Lösning b) | Lösning 1.8.1b}} |
===Övning 1.8.3=== | ===Övning 1.8.3=== | ||
| Rad 202: | Rad 202: | ||
Vad blir <math>\frac{1}{i}</math> för något? | Vad blir <math>\frac{1}{i}</math> för något? | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: Svar | Svar 1.8.4a | Lösning | Lösning 1.8.4a | Tips | Tips 1.8.4a}} | |
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning | Lösning 1.8.4a}} | + | |
===Övning 1.8.4 === | ===Övning 1.8.4 === | ||
| Rad 212: | Rad 211: | ||
| b) | | b) | ||
| Är <math>3+3i </math> ett reellt eller ett komplext tal? | | Är <math>3+3i </math> ett reellt eller ett komplext tal? | ||
| - | | c) | ||
| - | | Hitta alla komplexa rötter till <math>p(z) = z^3+z=0 </math>. Hur många reella rötter har <math>p(z)</math> Hur många komplexa rötter har den? | ||
| - | Kan en funktion ha fler reella än komplexa rötter? | ||
| - | |||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.8.5 | | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.8.5 | Svar b) | Svar 1.8.5a | Lösning a) | Lösning 1.8.5a | Lösning b) | Lösning 1.8.5b }} |
===Övning 1.8.5=== | ===Övning 1.8.5=== | ||
| Rad 227: | Rad 222: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.8.6 | Lösning | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.8.6 | Lösning | Lösning 1.8.6}} |
| - | ===Övning 1.8.6=== | ||
| - | <div class="ovning"> | ||
| - | Låt <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer: | ||
| - | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| - | |a) | ||
| - | | <math>\text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})</math> | ||
| - | |- | ||
| - | |b) | ||
| - | | <math>\text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})</math> | ||
| - | |- | ||
| - | |c) | ||
| - | | <math>\text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})</math> | ||
| - | |- | ||
| - | |d) | ||
| - | |<math>\bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}</math> | ||
| - | |- | ||
| - | |e) | ||
| - | |<math>\bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w</math> | ||
| - | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e | Lösning a)| Lösning 1.9.4a | Lösning b) | Lösning 1.9.4b | Lösning c) | Lösning 1.9.4c | Lösning d) | Lösning 1.9.4d | Lösning e) | Lösning 1.9.4e}} | ||
| - | ===Övning 1.8. | + | ===Övning 1.8.6*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir <math>-1</math>, och därför införde man talet <math>i</math>, definierat som <math>\sqrt{-1}</math>. | Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir <math>-1</math>, och därför införde man talet <math>i</math>, definierat som <math>\sqrt{-1}</math>. | ||
| Rad 258: | Rad 233: | ||
Inte riktigt: undersök ekvationen <math>(a+bi)^2=i</math>, där <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal. | Inte riktigt: undersök ekvationen <math>(a+bi)^2=i</math>, där <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning | Lösning 1.8.3a | Tips | Tips 1.8.3a}} | |
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning | Lösning 1.8.3a}} | + | |
| - | ===Övning 1.8. | + | ===Övning 1.8.7*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 267: | Rad 241: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.1 | Lösning 1.8.1 | | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.1 | Lösning | Lösning 1.8.1 | Tips | Tips 1.8.1}} |
| - | ===Övning 1.8. | + | ===Övning 1.8.8*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| - | |För heltalsvärden på n, vilka värden kan <math> i^n+i^{-n}</math> anta? | + | |För heltalsvärden på <math>n</math>, vilka värden kan <math> i^n+i^{-n}</math> anta? |
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.3 | Lösning | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.3 | Lösning | Lösning 1.8.3}} |
| - | ===Övning 1.8. | + | ===Övning 1.8.9*=== |
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 284: | Rad 258: | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.2 | Lösning | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.2 | Lösning | Lösning 1.8.2}} |
| + | ==Avsnitt 1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna== | ||
===Övning 1.9.1 === | ===Övning 1.9.1 === | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
|a) | |a) | ||
| - | |Utveckla<math> (x+y)²-(x-y)² </math> | + | |Utveckla <math> (x+y)²-(x-y)² </math> |
|b) | |b) | ||
| Använd ovanstående för att beräkna <math> 46 \cdot 54</math>. | | Använd ovanstående för att beräkna <math> 46 \cdot 54</math>. | ||
|| | || | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.9.1 | | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a) | Svar 1.9.1 | Svar b) | Svar 1.9.1b | Lösning a) | Lösning 1.9.1.a | Lösning b) | Lösning 1.9.1.b}} |
| Rad 303: | Rad 278: | ||
Förkorta <math>\displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2}</math> så lång som möjligt. | Förkorta <math>\displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2}</math> så lång som möjligt. | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning| Lösning 1.9.2a}} | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.9.2a | Lösning| Lösning 1.9.2a}} |
===Övning 1.9.3=== | ===Övning 1.9.3=== | ||
| Rad 314: | Rad 289: | ||
| <math>\displaystyle x^2+y^2</math> | | <math>\displaystyle x^2+y^2</math> | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 1.9.3a | Lösning b) | Lösning 1.9.3b}} | + | </div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 1.9.3a | Svar b) | Svar 1.9.3b |Lösning a)| Lösning 1.9.3a | Lösning b) | Lösning 1.9.3b}} |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 1.9.4=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer: | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>\text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>\text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>\text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |d) | ||
| + | |<math>\bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |e) | ||
| + | |<math>\bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e | Lösning a)| Lösning 1.9.4a | Lösning b) | Lösning 1.9.4b | Lösning c) | Lösning 1.9.4c | Lösning d) | Lösning 1.9.4d | Lösning e) | Lösning 1.9.4e}} | ||
Nuvarande version
Innehåll |
Avsnitt 1.2 Heltalen
Övning 1.2.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle(-3)(7+(-5)(-3+2)) | b) | \displaystyle \displaystyle (-a+2b)(-a+3b) |
Hämtar...Övning 1.2.2
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} | b) | \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} | c) | \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} | d) | \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} | e) | \displaystyle \displaystyle 4^{1,5} |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Svar e)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Lösning e)
Övning 1.2.3
Beräkna \displaystyle 2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}
Svar
Lösning
Övning 1.2.4
Vilken är störst, \displaystyle 1343488^{3/2+4/3-17/6} eller \displaystyle 3/2?
Svar
Lösning
Övning 1.2.5*
Beräkna
| a) | Betrakta operationen \displaystyle a \bigstar b = a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att \displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a) | b) | Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att \displaystyle (a\bigstar b)\bigstar c=a\bigstar(b\bigstar c)) | c) | Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om \displaystyle a\bigstar(b+c)=a\bigstar b + a\bigstar c) |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Avsnitt 1.3 Primtal
Övning 1.3.1
Primtalsfaktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle 1024 | b) | \displaystyle \displaystyle 1331 |
Övning 1.3.2
Hur många äkta delare har 23?
Svar
Avsnitt 1.4 Moduloräkning
Övning 1.4.1
Beräkna följande
| a) | 18 modulo 7 | b) | 345332233 modulo 2 | c) | 156 modulo 29 | d) | 334 modulo 10 |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Övning 1.4.2
Beräkna följande modulo 6
| a) | \displaystyle 36+23 | b) | \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} | c) | \displaystyle 5^{345}+55 |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Övning 1.4.3
| a) | Beräkna \displaystyle 38800\cdot5 modulo 3. | b) | Beräkna entalssiffran i talet \displaystyle 37^{120}. |
Övning 1.4.4*
| a) | Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
Lösning a)
Lösning b)
Övning 1.4.5*
| a) | Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med \displaystyle 3-5+4-7+8=-1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
Lösning a)
Lösning b)
Avsnitt 1.5 Representation av heltal
Övning 1.5.1
Kovertera följande tal till bas 2.
| a) | \displaystyle 1 | b) | \displaystyle 5 | c) | \displaystyle 128 | d) | \displaystyle 74 |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Övning 1.5.2
| a) | Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4. | b) | Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.
Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11. |
Övning 1.5.3*
Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.
Avsnitt 1.8 Komplexa tal
Övning 1.8.1
Vad är realdelen/imaginärdelen till
| a) | \displaystyle \displaystyle -1+5i | b) | \displaystyle \displaystyle -\pi i |
Svar a)
Svar b)
Övning 1.8.2
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) | b) | \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i)) |
Övning 1.8.3
Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?
Övning 1.8.4
| a) | Är \displaystyle \sqrt{2} ett reellt eller komplext tal? | b) | Är \displaystyle 3+3i ett reellt eller ett komplext tal? |
Övning 1.8.5
| Låt \displaystyle z=a+bi. Vi vet att \displaystyle z/(3+4i)=2+i. Bestäm \displaystyle a och \displaystyle b. |
Svar
Lösning
Övning 1.8.6*
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.
Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?
Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.
Lösning
Tips
Övning 1.8.7*
| Förenkla \displaystyle (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012} |
Övning 1.8.8*
| För heltalsvärden på \displaystyle n, vilka värden kan \displaystyle i^n+i^{-n} anta? |
Svar
Lösning
Övning 1.8.9*
| Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom \displaystyle z_1 =0
och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME) |
Svar
Lösning
Avsnitt 1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
Övning 1.9.1
| a) | Utveckla \displaystyle (x+y)²-(x-y)² | b) | Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54. |
Övning 1.9.2
Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.
Svar
Lösning
Övning 1.9.3
Faktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle x^2+1 | b) | \displaystyle \displaystyle x^2+y^2 |
Övning 1.9.4
Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
| a) | \displaystyle \text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z}) |
| b) | \displaystyle \text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z}) |
| c) | \displaystyle \text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) |
| d) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w} |
| e) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w |
Svar a)
Svar b)
Svar c)
Svar d)
Svar e)
Lösning a)
Lösning b)
Lösning c)
Lösning d)
Lösning e)
