Betrakta operationen \displaystyle a \bigstar b = a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att \displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a)

Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att \displaystyle (a\bigstar b)\bigstar c=a\bigstar(b\bigstar c))

Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om \displaystyle a\bigstar(b+c)=a\bigstar b + a\bigstar c)

Svar a)

Svar 1.2

Svar b)

Svar c)

Lösning a)

Lösning b)

Lösning c)

Avsnitt 1.3 Primtal

Övning 1.3.1

Primtalsfaktorisera

\displaystyle \displaystyle 1024

\displaystyle \displaystyle 1331

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.3.2

Hur många äkta delare har 23?

Svar

Lösning 1.2.2

Avsnitt 1.4 Moduloräkning

Övning 1.4.1

Beräkna följande

18 modulo 7

345332233 modulo 2

156 modulo 29

334 modulo 10

Svar a)

Svar b)

Svar c)

Svar d)

Lösning a)

Lösning b)

Lösning c)

Lösning d)

Övning 1.4.2

Beräkna följande modulo 6

\displaystyle 36+23

\displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)}

\displaystyle 5^{345}+55

Svar a)

Svar b)

Svar c)

Lösning a)

Lösning b)

Lösning c)

Övning 1.4.3

Beräkna \displaystyle 38800\cdot5 modulo 3.

Beräkna entalssiffran i talet \displaystyle 37^{120}.

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.4.4*

Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Lösning a)

Lösning 1.4.2.a

Lösning b)

Lösning 1.4.2.b

Övning 1.4.5*

Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med \displaystyle 3-5+4-7+8=-1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Lösning a)

Lösning 1.4.3.a

Lösning b)

Lösning 1.4.3.b

Avsnitt 1.5 Representation av heltal

Övning 1.5.1

Kovertera följande tal till bas 2.

\displaystyle 1

\displaystyle 5

\displaystyle 128

\displaystyle 74

Svar a)

Svar b)

Svar c)

Svar d)

Lösning a)

Lösning b)

Lösning c)

Lösning d)

Övning 1.5.2

Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4.

Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.

Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11.

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.5.3*

Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.

Svar

Svar 1.5.2a

Lösning

Lösning 1.5.2a

Tips

Tips 1.5.2

Avsnitt 1.8 Komplexa tal

Övning 1.8.1

Vad är realdelen/imaginärdelen till

\displaystyle \displaystyle -1+5i

\displaystyle \displaystyle -\pi i

Svar a)

Lösning 1.8.2a

Svar b)

Lösning 1.8.2b

Övning 1.8.2

Beräkna

\displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right)

\displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i))

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.8.3

Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?

Svar

Svar 1.8.4a

Lösning

Lösning 1.8.4a

Tips

Tips 1.8.4a

Övning 1.8.4

Är \displaystyle \sqrt{2} ett reellt eller komplext tal?

Är \displaystyle 3+3i ett reellt eller ett komplext tal?

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.8.5

Låt \displaystyle z=a+bi. Vi vet att \displaystyle z/(3+4i)=2+i. Bestäm \displaystyle a och \displaystyle b.

Svar

Svar 1.8.6

Lösning

Lösning 1.8.6

Övning 1.8.6*

Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.

Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?

Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.

Lösning

Lösning 1.8.3a

Tips

Tips 1.8.3a

Övning 1.8.7*

Förenkla \displaystyle (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012}

Svar

Svar 1.8.1

Lösning

Lösning 1.8.1

Tips

Tips 1.8.1

Övning 1.8.8*

För heltalsvärden på \displaystyle n, vilka värden kan \displaystyle i^n+i^{-n} anta?

Svar

Svar 1.8.3

Lösning

Lösning 1.8.3

Övning 1.8.9*

Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom \displaystyle z_1 =0

och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME)

Svar

Svar 1.8.2

Lösning

Lösning 1.8.2

Avsnitt 1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Övning 1.9.1

Utveckla \displaystyle (x+y)²-(x-y)²

Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54.

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.9.2

Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.

Svar

Svar 1.9.2a

Lösning

Lösning 1.9.2a

Övning 1.9.3

Faktorisera

\displaystyle \displaystyle x^2+1

\displaystyle \displaystyle x^2+y^2

Svar a)

Svar b)

Lösning a)

Lösning b)

Övning 1.9.4

Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:

a)	\displaystyle \text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})
b)	\displaystyle \text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})
c)	\displaystyle \text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})
d)	\displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}
e)	\displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w