Testsida
Förberedande kurs i matematik
Innehåll |
Övning 1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle(-3)(7+(-5)(-3+2)) | b) | \displaystyle \displaystyle (-a+2b)(-a+3b) |
Hämtar...Övning 2
Beräkna
| a) | Betrakta operationen \displaystyle a \bigstar b = a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att \displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a) | b) | Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att \displaystyle (a\bigstar b)\bigstar c=a\bigstar(b\bigstar c)) | c) | Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om \displaystyle a\bigstar(b+c)=a\bigstar b + a\bigstar c) |
Övning 1.2.1
Primtalsfaktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle 1024 | b) | \displaystyle \displaystyle 1331 |
Övning 1.2.2
Hur många äkta delare har 23?
Övning 1.4.1
| a) | Beräkna \displaystyle 38800\cdot5 modulo 3. | b) | Beräkna entalssiffran i talet \displaystyle 37^{120}. |
Övning 1.4.2
| a) | Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
Övning 1.4.3
| a) | Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. | b) | En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med \displaystyle 3-5+4-7+8=-1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. |
{Moduloräkning}
Övning 1.5.1
| a) | Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4. | b) | Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.
Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11. |
Övning 2.1
Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x.
| a) | \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 | b) | \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1 | |||
| c) | \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 | d) | \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 | e) | \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0 |
Övning 3.5.1
| Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär? |
Övning 4.2.1
| a) | Visa att \displaystyle D(x^2)=2x med hjälp av produktregeln. | b) | Visa att \displaystyle D(x^n)= nx^{n-1} om vi antar att man vet \displaystyle D(x^{n-1})=(n-1)x^{n-2}. | c) | Med hjälp av b), visa att \displaystyle D(x^n)=nx^{n-1} för alla \displaystyle n. |
Övning 4.3.1
| a) | Visa att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/\cos x. | b) | Visa att \displaystyle x\ln(x) -x är en primitiv funktion till \displaystyle \ln (x). | c) | Med hjälp av b), visa att \displaystyle D(x^n)=nx^{n-1} för alla \displaystyle n. |
{Grafritning och reella funktioner}
a) Lös ekvationen \displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0. b) Lös ekvationen \displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}=0 Exempellösningar: a)\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1+x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}\displaystyle Förläng sedan med \displaystyle (x+1)(x-1) och få ekvationen \displaystyle 2x=0. Lösningen till ekvationen är därför \displaystyle x=0. b) \displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}+\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x^2-x+1}{(x+2)(x-2)}\displaystyle Förläng med \displaystyle (x+2)(x-2) för att få ekvationen \displaystyle x^2-x+1=0. Denna löses till exempel med kvadratkomplettering vilket ger lösningarna \displaystyle x_1= 1/2+i\sqrt{3}/2 och \displaystyle x_2= 1/2-i\sqrt{3}/2. .
\subsubsection{ }
Antag att vi har två deriverbara funktioner \displaystyle f och \displaystyle g så att \displaystyle f(x)\neq0 för alla \displaystyle x.
a) Skriv upp en formel för derivatan av \displaystyle f(x)^{g(x)} uttryckt i \displaystyle D(f(x)) och \displaystyle D(g(x)).
b) Tillämpa formeln genom att derivera \displaystyle (x^2+1)^3.
c) Derivera \displaystyle x^x då \displaystyle x>0.
d) Derivera \displaystyle x^{\sin x} då \displaystyle x>0.
Exempellösning:
a) Börja med att skriva \displaystyle f(x)^{g(x)}= e^{\ln(f(x)^{g(x)})}= e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}. Med hjälp av kedjeregeln får vi då \displaystyle D(f(x)^{g(x)})=D(e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}) = D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})\cdot e^{g(x)\cdot \ln((f(x))} = D(g(x)\cdot \ln{(f(x))} )\cdot f(x)^{g(x)}.
För att beräkna \displaystyle D(g(x)\cdot \ln{(f(x))}) använder vi produktregeln. \displaystyle D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})= D(g(x))\cdot \ln{(f(x))})+ g(x)\cdot D(\ln(f(x)) =D(g(x))\cdot \ln{(f(x)})+ g(x)\cdot \frac{D(f(x))}{f(x)}. Sammanfattningsvis får vi då \displaystyle D(f(x)^{g(x)})=\left(D(g(x))\cdot \ln{(f(x)})+ g(x)\cdot \frac{D(f(x))}{f(x)}\right)\cdot f(x)^{g(x)}.
b) Om vi låter \displaystyle f(x) =x^2+1 och \displaystyle g(x)=3 så kan vi använda formeln från a). Vi har \displaystyle D(f(x))= 2x och \displaystyle D(g(x))=0. Vi får då \displaystyle D((x^2+1)^3)= (x^2+1)^3\left(0\cdot \ln(x^2+1)+3\frac{2x}{x^2+1}\right)= 6x(x^2+1)^2.
c) Låt \displaystyle f(x)=x och \displaystyle g(x)= x. Vi har \displaystyle D(f(x))=D(g(x))=1. Vi får då \displaystyle D(x^x)=x^x\left(1\cdot \ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}\right)= x^x\left(\ln(x)+1\right).
d) Låt \displaystyle f(x)=x och \displaystyle g(x)=\sin x. Vi har \displaystyle D(f(x))=1 och \displaystyle D(g(x))= \cos x. Vi får då \displaystyle D(x^{\sin x})= x^{\sin x}\left( \cos x \ln (x) + \frac{\sin x}{x}\right).
\subsubsection{ } a) Derivera \displaystyle \sin x /x. b) Derivera \displaystyle \sin^3x + 3\sin x \cos x. Exempellösning: a) Kvotregeln ger oss \displaystyle D(\sin x/ x)=\frac{x\cos x -\sin x}{x^2}. b) Genom att använda produktregeln och kedjeregeln får vi \displaystyle D(\sin^3x + 3\sin x \cos x)= D(\sin^3x) + D(3\sin x \cos x)= 3\sin^2 x \cos x + 3(\cos^2 x-\sin^2 x).
\section{Kapitel 4} {Integraler}
Exempellösningar:
a) En primitiv funktion till \displaystyle f är en funktion vars derivata är \displaystyle f. Därför deriverar vi \displaystyle -\ln(\cos x) för att se om det stämmer. \displaystyle D(-\ln(\cos x))= (-\sin x)\frac{-1}{\cos x}= \sin x/ \cos x via kedjeregeln. Detta bekräftar att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/ \cos x.
b) Vi gör som i a) och deriverar. \displaystyle D(x\ln(x) -x)= D(x\ln (x))-D(x)=D(x)\ln (x) + xD(\ln (x))-1= \ln (x) +1-1= \ln (x). Detta bekräftar att det är en primitiv funktion.
Ge ett exempel på en funktion som inte är integrerbar på intervallet \displaystyle [0,1].
Exempellösning:
Studera funktionen \displaystyle f som är definierad genom att vi sätter \displaystyle f(x)= 1 om \displaystyle x är ett rationellt tal och \displaystyle f(x)=0 och \displaystyle x är irrationellt. Antag att vi har gjort någon indelning av intervallet. På varje delintervall kommer det största värdet vara \displaystyle 1 och det minsta värdet vara \displaystyle 0 eftersom det alltid finns både rationella och irrationella tal i varje delintervall. Översumman blir då \displaystyle S_n = \sum_{i=1}^nM_i\Delta_x = \sum_{i=1}^n1\cdot\Delta_x = 1. Undersumman blir \displaystyle s_n = \sum_{i=1}^nm_i\Delta_x = \sum_{i=1}^n0\cdot\Delta_x = 0. Notera att detta gäller oavsett vilken indelning vi gjort. Därför kommer över- och undersumman aldrig att närma sig varandra och därför kan funktionen inte vara integrerbar.
