3.4 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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===Übung 3.4:1===
===Übung 3.4:1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Carry out the following divisions (not all are exact, i.e. have no remainder)
+
Berechnen Sie folgende Ausdrücke durch Polynomdivision. (Manche Ausdrücke haben auch einen Rest)
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
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===Übung 3.4:2===
===Übung 3.4:2===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
The equation <math>\,z^3-3z^2+4z-2=0\,</math> has the root <math>\,z=1\,</math>. Determine the other roots.
+
Die Gleichung <math>\,z^3-3z^2+4z-2=0\,</math> hat die eine Wurzel <math>\,z=1\,</math>. Bestimmen Sie die restlichen Wurzeln.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:2|Lösung|Lösung 3.4:2}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:2|Lösung|Lösung 3.4:2}}
===Übung 3.4:3===
===Übung 3.4:3===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
The equation <math>\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,</math> has the roots <math>\,z=2i\,</math> and <math>\,z=-1-i\,</math>. Solve the equation.
+
Die Gleichung <math>\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,</math> hat die Wurzeln <math>\,z=2i\,</math> und <math>\,z=-1-i\,</math>. Lösen Sie die Gleichung.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:3|Lösung|Lösung 3.4:3}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:3|Lösung|Lösung 3.4:3}}
===Übung 3.4:4===
===Übung 3.4:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine two real numbers <math>\,a\,</math> and <math>\,b\,</math>, such that the equation <math>\ z^3+az+b=0\ </math> has the root <math>\,z=1-2i\,</math>. Then solve the equation.
+
Bestimmen Sie die reellen Zahlen <math>\,a\,</math> und <math>\,b\,</math>, sodass die Gleichung <math>\ z^3+az+b=0\ </math> die Wurzel <math>\,z=1-2i\,</math> hat. Lösen Sie danach die Gleichung.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:4|Lösung|Lösung 3.4:4}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:4|Lösung|Lösung 3.4:4}}
===Übung 3.4:5===
===Übung 3.4:5===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine <math>\,a\,</math> and <math>\,b\,</math> so that the equation <math>\ z^4-6z^2+az+b=0\ </math> has a triple root. Then solve the equation.
+
Bestimmen Sie <math>\,a\,</math> und <math>\,b\,</math> sodass die Gleichung <math>\ z^4-6z^2+az+b=0\ </math> eine dreifache Wurzel hat. Lösen Sie danach die Gleichung.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:5|Lösung|Lösung 3.4:5}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:5|Lösung|Lösung 3.4:5}}
===Übung 3.4:6===
===Übung 3.4:6===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
The equation <math>\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ </math> has a pure imaginary root. Determine all the roots.
+
Die Gleichung <math>\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ </math> hat eine rein imaginäre Wurzel. Bestimmen Sie alle Wurzeln.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:6|Lösung|Lösung 3.4:6}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 3.4:6|Lösung|Lösung 3.4:6}}
===Übung 3.4:7===
===Übung 3.4:7===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine the polynomial which has the following zeros
+
Bestimmen Sie ein Polynom mit den Nullstellen
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)

Version vom 12:38, 21. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Übung 3.4:1

Berechnen Sie folgende Ausdrücke durch Polynomdivision. (Manche Ausdrücke haben auch einen Rest)

a) \displaystyle \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1} b) \displaystyle \displaystyle\frac{x^2}{x+1} c) \displaystyle \displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1} e) \displaystyle \displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}
Antwort
Antwort 3.4:1
Lösung a
Lösung 3.4:1a
Lösung b
Lösung 3.4:1b
Lösung c
Lösung 3.4:1c
Lösung d
Lösung 3.4:1d
Lösung e
Lösung 3.4:1e

Übung 3.4:2

Die Gleichung \displaystyle \,z^3-3z^2+4z-2=0\, hat die eine Wurzel \displaystyle \,z=1\,. Bestimmen Sie die restlichen Wurzeln.

Antwort
Antwort 3.4:2
Lösung
Lösung 3.4:2

Übung 3.4:3

Die Gleichung \displaystyle \,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\, hat die Wurzeln \displaystyle \,z=2i\, und \displaystyle \,z=-1-i\,. Lösen Sie die Gleichung.

Antwort
Antwort 3.4:3
Lösung
Lösung 3.4:3

Übung 3.4:4

Bestimmen Sie die reellen Zahlen \displaystyle \,a\, und \displaystyle \,b\,, sodass die Gleichung \displaystyle \ z^3+az+b=0\ die Wurzel \displaystyle \,z=1-2i\, hat. Lösen Sie danach die Gleichung.

Antwort
Antwort 3.4:4
Lösung
Lösung 3.4:4

Übung 3.4:5

Bestimmen Sie \displaystyle \,a\, und \displaystyle \,b\, sodass die Gleichung \displaystyle \ z^4-6z^2+az+b=0\ eine dreifache Wurzel hat. Lösen Sie danach die Gleichung.

Antwort
Antwort 3.4:5
Lösung
Lösung 3.4:5

Übung 3.4:6

Die Gleichung \displaystyle \ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ hat eine rein imaginäre Wurzel. Bestimmen Sie alle Wurzeln.

Antwort
Antwort 3.4:6
Lösung
Lösung 3.4:6

Übung 3.4:7

Bestimmen Sie ein Polynom mit den Nullstellen

a) \displaystyle 1\,, \displaystyle \,2\, and \displaystyle \,4 b) \displaystyle -1+ i\, and \displaystyle \,-1-i
Antwort
Antwort 3.4:7
Lösung a
Lösung 3.4:7a
Lösung b
Lösung 3.4:7b
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