Lösung 3.4:1d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir beginnen damit, \displaystyle x^2 zu addieren und subtrahieren, sodass wir \displaystyle x^3+x^2 = x^2(x+1) im Zähler erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\frac{x^3+x+2}{x+1} &= \frac{x^3+x^2-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^3+x^2}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align} |
Danach addieren und subtrahieren wir \displaystyle -x, sodass wir \displaystyle -x^2-x = -x(x+1) erhalten, da dies durch \displaystyle x+1 teilbar ist
| \displaystyle \begin{align}
x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1} &= x^2 + \frac{-x^2-x+x+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2-x}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x(x+1)}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 - x + \frac{2x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erhalten
| \displaystyle x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.} |
Wir testen, ob
| \displaystyle \frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{,} |
indem wir kontrollieren, ob
| \displaystyle x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1) . |
Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt
| \displaystyle \begin{align}
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.} \end{align} |
