Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Der Trick ist, dass man den Zähler so verändert, dass der Term mit dem höchsten Grad zusammen mit anderen Termen durch den Nenner teilbar ist. Das gelingt, indem man Terme addiert und subtrahiert bis die Division möglich ist.

In unserem Fall schreiben wir

\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}

Wir haben hier \displaystyle x addiert und dann subtrahiert. Jetzt können wir den \displaystyle x^2-Term los werden

\displaystyle \begin{align} \frac{x^2+x-x}{x+1} &= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Wir haben also \displaystyle x addiert, sodass der Term \displaystyle x^2+x durch \displaystyle x+1 teilbar wird.

Mit dem zweiten Term \displaystyle x/(x+1) machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren \displaystyle 1 zum/vom Zähler, sodass wir \displaystyle x+1 erhalten

\displaystyle \begin{align} x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner und damit sind wir mit der Division fertig.