Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir addieren einen Term, sodass wir \displaystyle x^3 los werden. Wir addieren und subtrahieren daher \displaystyle ax^2

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}

Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können

\displaystyle \begin{align} \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a} &= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren und subtrahieren wir \displaystyle -a^2x zu/von \displaystyle -ax^2 damit wir etwas durch \displaystyle x+a Teilbares erhalten

\displaystyle \begin{align} x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a} &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Im letzten Bruch haben wir \displaystyle x+a als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher

\displaystyle x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}

Also erhalten wir

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2

Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit \displaystyle x+a multiplizieren

\displaystyle x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}

Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten

\displaystyle \begin{align} \text{Rechte Seite} &= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt] &= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt] &= x^3+a^3\\[5pt] &= \text{Linke Seite.} \end{align}