Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle \displaystyle z=c, wenn das Polynom den Faktor \displaystyle (z-c)^3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

\displaystyle z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d) ,

wobei \displaystyle z=c die dreifache Nullstelle ist und \displaystyle z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c und \displaystyle d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

\displaystyle \begin{align} (z-c)^3(z-d) &= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt] &= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d \end{align}

und daher muss

\displaystyle z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align} 3c+d &= 0\,,\\[5pt] 3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt] -c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt] c^3d &= b\,\textrm{.} \end{align}\right.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir \displaystyle d=-3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für \displaystyle c

\displaystyle \begin{align} 3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt] -6c^2 &= -6\,, \end{align}

also \displaystyle c=-1 oder \displaystyle c=1. Da \displaystyle d=-3c, ist \displaystyle d=3 oder \displaystyle d=-3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir \displaystyle a und \displaystyle b

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt] b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt] b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.} \end{align}

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

• \displaystyle a=-8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=-3,

• \displaystyle a=8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=-1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=3.

Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad (z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\ &= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\ &= z^4 -6z^2 +8z-3 \\[10pt] c=-1,\ d=3: \quad (z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\ &= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\ &= z^4 -6z^2 -8z-3 \,\textrm{.} \end{align}