Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie \displaystyle z=ia schreiben, wobei \displaystyle a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir \displaystyle z=ia im Polynom, erhalten wir

\displaystyle (ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,

also

\displaystyle a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0

Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

\displaystyle (a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}

also

\displaystyle \left\{\begin{align} a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt] a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Die zweite Gleichung ergibt \displaystyle a=0 oder \displaystyle a=\pm\sqrt{6}, aber nur \displaystyle a=\pm\sqrt{6} erfüllt auch die erste Gleichung.

Daher hat die Gleichung \displaystyle z^4+3z^3+z^2+18z-30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln \displaystyle z=-i\sqrt{6} und \displaystyle z=i\sqrt{6}. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

Da die Gleichung die zwei Wurzeln \displaystyle z = \pm i\sqrt{6} hat, enthält das Polynom den Faktor

\displaystyle (z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6

und daher ist

\displaystyle z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,

wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von \displaystyle z^{2}+Az+B sind.

Wir bestimmen den Faktor \displaystyle z^2+Az+B durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align} z^2+Az+B &= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.} \end{align}

Also müssen wir die Gleichung

\displaystyle z^2+3z-5 = 0

lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align} \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. \end{align}

Dies ergibt also \displaystyle z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}.

Die Gleichung hat also die Lösungen

\displaystyle z=-i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}