Slaskövning5
SamverkanLinalgLIU
Låt \displaystyle O\underline{\boldsymbol{e}} vara ett ON-system. Koordinater för punkter och vektorer ges i \displaystyle O\underline{\boldsymbol{e}} respektive \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Innehåll |
Övning 5.1
Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} är två vektorer i rummet med \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3 och \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och där vinkeln mellan dem är \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}.
a) Beräkna \displaystyle |\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|
b) Beräkna \displaystyle |2\boldsymbol{u}\times3\boldsymbol{v}|
c) Beräkna \displaystyle |(2\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v})\times(3\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v})|
Hämtar...
Övning 5.2
Antag att trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) bildar ett högerorienterat system. Ange orienteringen hos följande trippler
\quad ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}),\quad ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) \quad\mbox{och}\quad
( -\boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{v}).
Övning 5.3
Bestäm alla vektorer med längden 1 som är ortogonala mot de båda vektorerna
\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.
a) Använd skalärprodukten.
b) Använd vektorprodukten.
Övning 5.4
Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}2\\7\\4\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}
Beräkna \displaystyle ( \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} )\times \boldsymbol{w} och och \displaystyle \boldsymbol{u} \times ( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w} )
Övning 5.5
Bestäm arean av den triangel som har hörn i \displaystyle (1,1,1) , \displaystyle (1,2,1) och \displaystyle (3,2,1).
Övning 5.6
Bestäm arean för en parallellogram som har hörnpunkterna \displaystyle (1,3,2) , \displaystyle (2,-1,1) , \displaystyle (-1,2,3) och \displaystyle (0,-2,2) .
Övning 5.7
Bestäm arean av en parallellogram som har diagonalvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ -1\end{pmatrix}.
Övning 5.8
Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix},
\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.
Övning 5.9
Vilka av följande uppsättningar av vektorer är linjärt beroende?
{\rm a)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix} \qquad {\rm b)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}.
Övning 5.10
För vilka \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a+1\end{pmatrix} linjärt beroende?
Övning 5.11
För vilka \displaystyle t ligger punkterna \displaystyle (t,1,2), \displaystyle (1,t,3), \displaystyle (1,1,1) och \displaystyle (0,1,1) i ett plan?
Övning 5.12
Ange ett värde på talet \displaystyle a så att vektorekvationen
\times \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3\end{pmatrix}
blir lösbar.
Övning 5.13
Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}. Lös vektorekvationen
\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{v}
för alla reella tal \displaystyle k för vilka ekvationen är lösbar.
Övning 5.14
Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar \displaystyle \boldsymbol{x} till ekvationssystemet
\left\{\begin{array}{rcr} \boldsymbol{u} \cdot ( \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v} )&=&0\\ \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{x} &=&0 \end{array}\right.
