Tips och lösning till U 5.9a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Med hjälp av volymprodukt har du ett nytt sätt att fastställa om tre vektorer är linjärt beroende. Anmärkning 4.19 ger dej svaret.
Tips 2
Försök att rent geometriskt inse varför volymproduktens värde kan ge svaret på om vektorerna är linjärt beroende eller ej.
Tips 3
Att volymprodukten blir noll betyder att vektorerna ligger i samma plan annars inte dvs vektorerna spänner upp en parallellepiped.
Lösning
Enligt Anmärkning 4.19 så är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{w} linjärt beroende om volymprodukten
\displaystyle (\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}=0.
Eftersom
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix}.
och därmed
\begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix}=0
så är volymprodukten av de givna vektorerna noll.
Därmed bildar dem ingen kropp med volym och ligger därför i samma plan
och är linjärt beroende.
