Tips och lösning till U 5.3a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Skalärprodukten är noll mellan två ortogonala vektorer.
Tips 2
Kalla de vektorer som skall bestämmas för \displaystyle \boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix}. Genom att \displaystyle \boldsymbol{u} skall vara ortogonal mot två vektorer får du två ekvationer i ett ekvationssystem.
Tips 3
Lös ekvationssystemet och kontrollra att dina vektorer. är ortogonala mot de två givna. Avsluta med att normera dina vektorer, dvs ge dom längden 1. Hur många vektorer bör det bli?
Lösning
Vi börjar med att bestämma dem vektorer
\displaystyle \boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix}
som är ortogonala mot
både
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
och
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.
Därefter normerar vi dessa \displaystyle \boldsymbol{u} .
Vi vet sen tidigare att två vektorer är ortogonala om deras
skalärprodukt är noll. Vi får alltså systemet
\left\{\begin{array}{rcr} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}_1 &=& \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}_2 &=& \boldsymbol{0}\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcrcrcr}x_1&+&2x_2&+&3x_3&=&0\\x_1&&&+&x_3&=&0\end{array}\right.
som har lösningen \displaystyle x_1=t,\ x_2=t,\ x_3=-t . De sökta vektorerna har formen \displaystyle \boldsymbol{u}=t\begin{pmatrix}1\\1\\ -1\end{pmatrix} , \displaystyle t\in{\bf R} med längden \displaystyle |\boldsymbol{u}|=|t|\sqrt3 . De sökta vektorerna är alltså dem erhållna \displaystyle \boldsymbol{u} men med längd 1, dvs \displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt3} \begin{pmatrix}1\\1\\ -1\end{pmatrix} .
