12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess

Övning 13.9

Bestäm en ON-bas för underrummet \displaystyle W=[(2,1,0,1)^t,(4,-5,1,3)^t]\subset{\bf R}^4 .

Övning 13.10

Låt

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,1,1,1)^t i en summa av två vektorer där den ena ligger i \displaystyle W och den andra är ortogonal mot \displaystyle W .

Övning 13.11

Låt

Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet \displaystyle W^{\perp} till \displaystyle W .

Övning 13.12

Låt \displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(2,0,2,0)^t]\subset{\bf E}^4 .

a) Bestäm en ON-bas för \displaystyle W .

b) Utvidga ON-basen i \displaystyle W till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

c) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(0,4,4,0)^t . Bestäm ortogonala projektionerna \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W} och \displaystyle P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

d) Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (0,4,4,0) till \displaystyle W .

e) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t . Bestäm ortogonala projektionen \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u}) .

Övning 13.13

Låt \displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(1,2,2,1)^t,(2,3,1,6)^t] .

a) Ange en ekvation för \displaystyle W .

b) Bestäm först en ON-bas för \displaystyle W och utvidga sen till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

c) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t i denna bas.

d) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u} i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

e) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t och bestäm den vektor \displaystyle \boldsymbol{w}\in W som minimerar avståndet \displaystyle ||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}|| , dvs ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} .

f) Ange detta minimum.

Övning 13.14

Låt \displaystyle W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4:\ x_1+2x_2-x_3+4x_4=0\} .

a) Bestäm först en ON-bas för \displaystyle W och utvidga sen till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

b) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t i denna bas.

c) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u} i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

d) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t och bestäm den vektor \displaystyle \boldsymbol{w}\in W som minimerar avståndet \displaystyle ||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} ||, dvs ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} .

e) Ange detta minimum.

Övning 13.15

Sätt

a) Bestäm en ON-bas i \displaystyle W .

b) Utvidga ON-basen i a) till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

c) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(-1,1,1,1)^t i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W} , där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp} .

Övning 13.16

Vilken vektor i

ligger närmast \displaystyle (1,2,3,2)^t ?

Övning 13.17

Bestäm en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^4 , där så många som möjligt av baselementen tillhör