Slaskövning5

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: Låt <math>O\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara ett ON-system. Koordinater för punkter och vektorer ges i <math>O\underline{\boldsymbol{e}}</math> respektive <math>\underline{\boldsymbo...)
Nuvarande version (2 oktober 2010 kl. 16.25) (redigera) (ogör)
 
(6 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
Låt <math>O\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara ett ON-system. Koordinater för punkter och vektorer ges i <math>O\underline{\boldsymbol{e}}</math> respektive <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
Låt <math>O\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara ett ON-system. Koordinater för punkter och vektorer ges i <math>O\underline{\boldsymbol{e}}</math> respektive <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.1===
 +
Antag att <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> är två vektorer i rummet med
 +
<math>|\boldsymbol{u}|=3</math> och <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och där vinkeln mellan dem är
 +
<math>\theta=\frac{\pi}{3}</math>.
 +
 +
a) Beräkna <math>|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|</math>
 +
 +
b) Beräkna <math>|2\boldsymbol{u}\times3\boldsymbol{v}|</math>
 +
 +
c) Beräkna <math>|(2\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v})\times(3\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v})|</math>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 5.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 5.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 5.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 5.1c}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.2===
 +
Antag att trippeln <math> ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) </math> bildar ett
 +
högerorienterat system. Ange orienteringen hos följande trippler
 +
<center><math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}),
 +
\quad ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}),\quad
 +
( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w})
 +
\quad\mbox{och}\quad
 +
( -\boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{v}). </math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.2|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.2}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.3===
 +
Bestäm alla vektorer med längden 1 som är ortogonala mot de båda
 +
vektorerna
 +
 +
<math>\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.</math>
 +
 +
a) Använd skalärprodukten.
 +
 +
b) Använd vektorprodukten.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 5.3|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 5.3a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 5.3b}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.4===
 +
 +
Låt <math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}2\\7\\4\end{pmatrix}</math>,
 +
<math>\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\boldsymbol{w} = \begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}</math>
 +
 +
Beräkna <math>( \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} )\times \boldsymbol{w} </math> och
 +
och
 +
<math>\boldsymbol{u} \times ( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w} )</math>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.4|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.4}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.5===
 +
 +
Bestäm arean av den triangel som har hörn i <math> (1,1,1) </math>, <math> (1,2,1) </math> och <math>(3,2,1)</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.5|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.5}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.6===
 +
 +
Bestäm arean för en parallellogram som har hörnpunkterna <math>(1,3,2) </math> ,
 +
<math> (2,-1,1) </math>, <math> (-1,2,3) </math>
 +
och <math> (0,-2,2) </math> .
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.6|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.6}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.7===
 +
Bestäm arean av en parallellogram som har diagonalvektorerna
 +
<math>\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ -1\end{pmatrix}.</math>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.7|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.7}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.8===
 +
 +
Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna
 +
<math>\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix}</math>,
 +
 +
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.</math>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.8|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.8}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.9===
 +
Vilka av följande uppsättningar av vektorer är linjärt beroende?
 +
<center><math>
 +
{\rm a)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}.
 +
\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}.
 +
\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix}
 +
\qquad
 +
{\rm b)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.
 +
\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}.
 +
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 5.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 5.9a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 5.9b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.10===
 +
För vilka <math>a</math> är vektorerna
 +
<math>\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}</math>,
 +
<math>\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a+1\end{pmatrix}</math>
 +
linjärt beroende?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.10|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.10}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.11===
 +
 +
För vilka <math>t</math> ligger punkterna
 +
<math>(t,1,2)</math>, <math>(1,t,3)</math>,
 +
<math>(1,1,1)</math> och <math>(0,1,1)</math> i ett plan?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.11|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.11}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.12===
 +
Ange ett värde på talet <math>a</math> så att vektorekvationen
 +
<center><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
 +
\times
 +
\begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix}
 +
=\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3\end{pmatrix}
 +
</math></center>
 +
blir lösbar och lös därefter ekvationen.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.12|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.12}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.13===
 +
Antag att
 +
<math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}</math>.
 +
Lös vektorekvationen
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{v}
 +
</math></center>
 +
 +
 +
för alla reella tal <math>k</math> för vilka ekvationen är lösbar.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.13|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.13}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 5.14===
 +
Låt <math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}</math>
 +
och
 +
<math>\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}</math>.
 +
Bestäm alla lösningar <math>\boldsymbol{x}</math> till
 +
ekvationssystemet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcr}
 +
\boldsymbol{u} \cdot ( \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v} )&=&0\\
 +
\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{x} &=&0
 +
\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till U 5.14|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.14}}

Nuvarande version

Låt \displaystyle O\underline{\boldsymbol{e}} vara ett ON-system. Koordinater för punkter och vektorer ges i \displaystyle O\underline{\boldsymbol{e}} respektive \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Innehåll

Övning 5.1

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} är två vektorer i rummet med \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3 och \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och där vinkeln mellan dem är \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}.

a) Beräkna \displaystyle |\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|

b) Beräkna \displaystyle |2\boldsymbol{u}\times3\boldsymbol{v}|

c) Beräkna \displaystyle |(2\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v})\times(3\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v})|

Svar
Svar till U 5.1
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 5.1a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 5.1b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 5.1c


Övning 5.2

Antag att trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) bildar ett högerorienterat system. Ange orienteringen hos följande trippler

\displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}),

\quad ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}),\quad ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) \quad\mbox{och}\quad

( -\boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{v}).
Svar
Svar till U 5.2
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.2


Övning 5.3

Bestäm alla vektorer med längden 1 som är ortogonala mot de båda vektorerna

\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.

a) Använd skalärprodukten.

b) Använd vektorprodukten.

Svar
Svar till U 5.3
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 5.3a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 5.3b


Övning 5.4

Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}2\\7\\4\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}

Beräkna \displaystyle ( \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} )\times \boldsymbol{w} och och \displaystyle \boldsymbol{u} \times ( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w} )

Svar
Svar till U 5.4
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.4


Övning 5.5

Bestäm arean av den triangel som har hörn i \displaystyle (1,1,1) , \displaystyle (1,2,1) och \displaystyle (3,2,1).

Svar
Svar till U 5.5
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.5


Övning 5.6

Bestäm arean för en parallellogram som har hörnpunkterna \displaystyle (1,3,2) , \displaystyle (2,-1,1) , \displaystyle (-1,2,3) och \displaystyle (0,-2,2) .

Svar
Svar till U 5.6
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.6


Övning 5.7

Bestäm arean av en parallellogram som har diagonalvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ -1\end{pmatrix}.

Svar
Svar till U 5.7
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.7



Övning 5.8

Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix},

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.

Svar
Svar till U 5.8
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.8


Övning 5.9

Vilka av följande uppsättningar av vektorer är linjärt beroende?

\displaystyle

{\rm a)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix} \qquad {\rm b)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}.

Svar
Svar till U 5.9
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 5.9a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 5.9b


Övning 5.10

För vilka \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a+1\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar
Svar till U 5.10
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.10


Övning 5.11

För vilka \displaystyle t ligger punkterna \displaystyle (t,1,2), \displaystyle (1,t,3), \displaystyle (1,1,1) och \displaystyle (0,1,1) i ett plan?

Svar
Svar till U 5.11
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.11


Övning 5.12

Ange ett värde på talet \displaystyle a så att vektorekvationen

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}

\times \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3\end{pmatrix}

blir lösbar och lös därefter ekvationen.

Svar
Svar till U 5.12
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.12


Övning 5.13

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}. Lös vektorekvationen


\displaystyle

\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{v}


för alla reella tal \displaystyle k för vilka ekvationen är lösbar.

Svar
Svar till U 5.13
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.13


Övning 5.14

Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar \displaystyle \boldsymbol{x} till ekvationssystemet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcr} \boldsymbol{u} \cdot ( \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v} )&=&0\\ \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{x} &=&0 \end{array}\right.

Svar
Svar till U 5.14
Tips och lösning
Tips och lösning till U 5.14
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning5