Slaskövning5

Övning 5.1

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} är två vektorer i rummet med \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3 och \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och där vinkeln mellan dem är \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}.

a) Beräkna \displaystyle |\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|

b) Beräkna \displaystyle |2\boldsymbol{u}\times3\boldsymbol{v}|

c) Beräkna \displaystyle |(2\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v})\times(3\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v})|

Övning 5.2

Antag att trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) bildar ett högerorienterat system. Ange orienteringen hos följande trippler

Övning 5.3

Bestäm alla vektorer med längden 1 som är ortogonala mot de båda vektorerna

\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

a) Använd skalärprodukten.

b) Använd vektorprodukten.

Övning 5.4

Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}2\\7\\4\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}

Beräkna \displaystyle ( \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} )\times \boldsymbol{w} och och \displaystyle \boldsymbol{u} \times ( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w} )

Övning 5.5

Bestäm arean av den triangel som har hörn i \displaystyle (1,1,1) , \displaystyle (1,2,1) och \displaystyle (3,2,1).

Övning 5.6

Bestäm arean för en parallellogram som har hörnpunkterna \displaystyle (1,3,2) , \displaystyle (2,-1,1) , \displaystyle (-1,2,3) och \displaystyle (0,-2,2) .

Övning 5.7

Bestäm arean av en parallellogram som har diagonalvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ -1\end{pmatrix}.

Övning 5.8

Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix},

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.

Övning 5.9

Vilka av följande uppsättningar av vektorer är linjärt beroende?

Övning 5.10

För vilka \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a+1\end{pmatrix} linjärt beroende?

Övning 5.11

För vilka \displaystyle t ligger punkterna \displaystyle (t,1,2), \displaystyle (1,t,3), \displaystyle (1,1,1) och \displaystyle (0,1,1) i ett plan?

Övning 5.12

Ange ett värde på talet \displaystyle a så att vektorekvationen

blir lösbar.

Övning 5.13

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}. Lös vektorekvationen \displaystyle \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{v} för alla reella tal \displaystyle k , för vilka ekvationen är lösbar.

Övning 5.14

Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar \displaystyle \boldsymbol{x} till ekvationssystemet