Förberedande kurs i matematik

Innehåll 1 Övning 1 2 Övning 2 3 Övning 1.2.1 4 Övning 1.2.2 5 Övning 1.4.1 6 Övning 1.4.2 7 Övning 1.4.3 8 Övning 1.5.1

Övning 1

Övning 2

Övning 1.2.1

Övning 1.2.2

Övning 1.4.1

Övning 1.4.2

Övning 1.4.3

{Moduloräkning}

Övning 1.5.1

b) Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846. Konvertera nu talet \displaystyle 252_10 till basen 11.

a) Vi kan först konvertera talet till bas 10, för att sedan konvertera det till bas 4 (det finns metoder för att direkt konvertera tal mellan olika baser, men dessa är lite för invecklade för kursens nivå). Vi har att \displaystyle 201_3=2*3^2+0*3^1+1*3^0=2*9+1=19. Om vi konverterar detta till bas 4 observerar vi först att \displaystyle 2^5=32>19, medan \displaystyle 2^4=16<19. Eftersom \displaystyle 19-16=3 blir nästa steg att konvertera talet 3 till bas 4, men eftersom 3<4 behöver vi inte göra mer där. Då har vi tagit reda på att \displaystyle 19=16+3. Eftersom \displaystyle 16=100_4 och \displaystyle 3=3_4 har vi att \displaystyle 19=103_4. b) Den största potensen av 11 som är mindre än 252 är \displaystyle 11^2=121. Den ryms

\section{Kapitel 2} {Logik} \subsubsection{ } Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x. \begin{list}{ }{ } \item a) \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 \item b) \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1 \item c) \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 \item d) \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 \item e) \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0 \end{list} Exempellösningar: a) Vi vet att \displaystyle 2 är större än \displaystyle -1. Om vi har ett \displaystyle x som är större än \displaystyle 2 så vet vi att det också måste vara större än \displaystyle -1. Det är just precis detta som den logiska formeln betyder och alltså är den sann.

b) Betrakta till exempen \displaystyle x=0. Vi ser att då att \displaystyle x är större än \displaystyle -1 men inte större än \displaystyle 2. Påståendet säger att alla tal som är större än \displaystyle -1 är också större än \displaystyle 2. Detta kan inte vara sant då vi precis gav ett motexempel.

c) Vi börjar med att undersöka om \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Rightarrow x >1 gäller. \displaystyle \wedge betyder att båda utsagorna gäller, särskilt \displaystyle x>1. Men det är precis vad vi ska undersöka om det medför. Därför gäller \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Rightarrow x >1. Gäller även \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftarrow x >1? Genom samma resonemang som i a) så ser vi att \displaystyle x\geq 0\Leftarrow x >1. Uppenbarligen gäller även \displaystyle x>1\Leftarrow x >1. Eftersom \displaystyle x>1 medför båda utsagorna så gäller \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftarrow x >1 per definition. Vi vet nu att \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Rightarrow x >1 och \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftarrow x >1 är sanna; detta innebär definitionsmässigt att utsagan \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 är sann.

d) Påståendet betyder att kvadraten på positiva tal är positiva. Eftersom vi pratar om reella tal gäller detta och utsagan är sann. Notera att vi skulle kunna säga att utsagan är sann utan att veta vad som stod till vänster då \displaystyle x^2 alltid är positivt för alla reella \displaystyle x.

e) Utsagan är sann enligt sista kommentaren på förra uppgiften. Notera att detta gäller även då det som står till vänster är falskt och att utsagan säger att ett tal som antas vara negativt ska vara positivt. \section{Kapitel 3} {Mängdlära}

Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm \displaystyle A\cup B, \displaystyle A\cap B, \displaystyle A\setminus B och \displaystyle B \setminus A.

Exempellösning: Alla siffror från \displaystyle 1 till \displaystyle 4 ligger i antingen \displaystyle A eller \displaystyle B. Alltså är \displaystyle A\cup B = \{1,2,3,4\}. Den enda gemensamma siffran i \displaystyle A och \displaystyle B är siffran \displaystyle 4. Alltså är \displaystyle A\cap B = \{4\}. \displaystyle A innehåller \displaystyle 1, \displaystyle 2 och \displaystyle 4 och av dessa innehåller \displaystyle B siffran \displaystyle 4. Alltså är \displaystyle A\setminus B = \{1,2\}. \displaystyle B innehåller \displaystyle 3 och \displaystyle 4 och av dessa innehåller \displaystyle A siffran \displaystyle 4. Alltså är \displaystyle B\setminus A = \{3\}.

Visa att \displaystyle (A\setminus B )\cup (B\setminus A) \cup (A\cap B)= A \cup B. Exempellösning: Vi vill se att alla element i den första mängden ligger i den andra mängden och att alla element i den andra mängden ligger i den första. I så fall vet vi att mänderna är lika. {\bf Del 1}: Visa att \displaystyle (A\setminus B )\cup (B\setminus A) \cup (A\cap B) ligger i \displaystyle A \cup B. \displaystyle A\setminus B ligger i \displaystyle A som ligger i \displaystyle A\cup B. \displaystyle B\setminus A ligger i \displaystyle B som ligger i \displaystyle A\cup B. \displaystyle A\cap B ligger i \displaystyle A som ligger i \displaystyle A\cup B. Därför vet vi att del 1 stämmer. {\bf Del 2}: Visa att \displaystyle A \cup B ligger i \displaystyle (A\setminus B )\cup (B\setminus A) \cup (A\cap B). Detta kommer att visas genom att delas upp i fall. Per definition så vet vi att ett element i \displaystyle A\cup B ligger i \displaystyle A eller \displaystyle B. Om vi antar att det finns i \displaystyle A så finns det ytterligare alternativ, antingen finns det i \displaystyle B också eller så gör det inte det. Ifall det finns i \displaystyle B också så finns det i \displaystyle A\cap B. Om det inte finns i \displaystyle B också så finns det i \displaystyle A\setminus B. Och om det nu inte fanns i \displaystyle A alls så finns det i \displaystyle B\setminus A. Alltså, om \displaystyle x ligger i \displaystyle A\cup B så finns det i någon av \displaystyle A\cap B, \displaystyle A\setminus B och \displaystyle B\setminus A. Och det var precis det vi ville visa.

{Funktionsbegreppet}

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva. \begin{list}{}{} \item a) \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2. \item b) \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3. \displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}. \item c) \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}. \item d) \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)). \item e) \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)). \end{list} Exempellösningar: a) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas. \item Injektivitet: Nej, till exempel är \displaystyle f(-1)=f(1)=1. \end{list} b) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd:\displaystyle \mathbb{R}_+ \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\} \item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte \displaystyle 0 i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, om vi antar att \displaystyle g(x_1)=g(x_2) så följer \displaystyle -x_1-3=-x_2-3 vilket innebär att \displaystyle x_1=x_2. \end{list} c) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}. \item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger. \end{list} d) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9. För de \displaystyle x där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in \displaystyle 0 får vi \displaystyle 9 vilket innebär att värdemängden är \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}. \item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte \displaystyle 0 finns i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela \displaystyle \mathbb{R} som definitionsmängd. \end{list} e) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x. Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva \displaystyle x. Värdemängden är alltså \displaystyle \mathbb{R}_+. \item Surjektivitet: Nej, Till exempel \displaystyle 0 antas inte. \item Injektivitet: Om vi antar att \displaystyle s(x_1)=s(x_2) så betyder det att \displaystyle x_1=x_2 och alltså är den injektiv. \end{list}

Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för \displaystyle f, \displaystyle g och \displaystyle h definierad genom \displaystyle h(x) = f(g(x)). Exempellösning: f: \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Målmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Surjektivitet: Ja, mål- och värdemängd är lika. \item Injektivitet: Nej, till exempel är \displaystyle f(-1)=f(1)=1. \end{list} g: \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\} \item Surjektivitet: Nej, inga positiva tal antas. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande. \end{list} h: \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Målmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Surjektivitet: Ja, eftersom mål- och värdemängd är lika. \item Injektivitet: Vi har \displaystyle h(x)=f(g(x))=(-\sqrt{x})^2 = x så den är injektiv. \end{list} Notera att \displaystyle h är bijektiv trots att varken \displaystyle f eller \displaystyle g är det.

{Grafritning och reella funktioner}

a) Lös ekvationen \displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0. b) Lös ekvationen \displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}=0 Exempellösningar: a)\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1+x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}\displaystyle Förläng sedan med \displaystyle (x+1)(x-1) och få ekvationen \displaystyle 2x=0. Lösningen till ekvationen är därför \displaystyle x=0. b) \displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}+\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x^2-x+1}{(x+2)(x-2)}\displaystyle Förläng med \displaystyle (x+2)(x-2) för att få ekvationen \displaystyle x^2-x+1=0. Denna löses till exempel med kvadratkomplettering vilket ger lösningarna \displaystyle x_1= 1/2+i\sqrt{3}/2 och \displaystyle x_2= 1/2-i\sqrt{3}/2.

{Trigonometri}

Gäller pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär? Exempellösning: Betrakta en sfär med radie \displaystyle 1 och triangel på den som har ett hörn i nordpolen och två hörn på ekvatorn med en fjärdedels varv mellan dem. Denna triangel har tre sidor med längd \displaystyle 2r\pi/4= \pi/2. Alla tre vinklar är räta (vi ser här att vinkelsumman inte behöver vara \displaystyle 180 för trianglar på sfärer). Om vi antar att Pythagoras sats är sann så säger den att \displaystyle (\pi/2)^2+(\pi/2)^2=(\pi/2)^2 vilket leder till att \displaystyle (\pi/2)^2=0 vilket uppenbarligen är falskt. Alltså kan inte Pythagoras sats vara sann när vi studerar sfärisk geometri.

\section{Kapitel 4} {Derivata} Antag att vi får använda att \displaystyle D(x)=1(kan i annat fall visas enkelt med derivatans definition). \begin{list}{}{} \item a) Visa att \displaystyle D(x^2)=2x med hjälp av produktregeln. \item b) Visa att \displaystyle D(x^n))= nx^{n-1} om vi antar att man vet \displaystyle D(x^{n-1})=(n-1)x^{n-2}. \item c) Med hjälp av b), visa att \displaystyle D(x^n)=nx^{n-1} för alla \displaystyle n. \end{list} Exempellösning: a) Skriv \displaystyle x^2=xx. Vi får då \displaystyle D(x^2)=D(xx)=D(x)x+xD(x)=1\cdot x + x \cdot 1= 2x. b) Skriv \displaystyle x^n=x\cdot x^{n-1}. Vi får \displaystyle D(x^n)= D(x\cdot x^{n-1}) = D(x)\cdot x^{n-1} + xD(\cdot x^{n-1})= 1\cdot x^{n-1} + x(n-1)x^{n-2} = nx^{n-1}. c) Till att börja med vet vi att \displaystyle D(x^1) =1. Deluppgift b) säger då att \displaystyle D(x^2)=2x. Det var alltså det vi visade i a). Om vi använder b) igen får vi \displaystyle D(x^3)=3x^2 och ytterligare en gång \displaystyle D(x^4)=4x^3. Vi ser att det går att fortsätta såhär så länge vi vill och vi ser då att \displaystyle D(x^n)= nx^{n-1}. Denna bevismetod kallas induktion.

\subsubsection{ } Antag att vi har två deriverbara funktioner \displaystyle f och \displaystyle g så att \displaystyle f(x)\neq0 för alla \displaystyle x. a) Skriv upp en formel för derivatan av \displaystyle f(x)^{g(x)} uttryckt i \displaystyle D(f(x)) och \displaystyle D(g(x)). b) Tillämpa formeln genom att derivera \displaystyle (x^2+1)^3. c) Derivera \displaystyle x^x då \displaystyle x>0. d) Derivera \displaystyle x^{\sin x} då \displaystyle x>0. Exempellösning: a) Börja med att skriva \displaystyle f(x)^{g(x)}= e^{\ln(f(x)^{g(x)})}= e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}. Med hjälp av kedjeregeln får vi då \displaystyle D(f(x)^{g(x)})=D(e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}) = D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})\cdot e^{g(x)\cdot \ln((f(x))} = D(g(x)\cdot \ln{(f(x))} )\cdot f(x)^{g(x)}. För att beräkna \displaystyle D(g(x)\cdot \ln{(f(x))}) använder vi produktregeln. \displaystyle D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})= D(g(x))\cdot \ln{(f(x))})+ g(x)\cdot D(\ln(f(x)) =D(g(x))\cdot \ln{(f(x)})+ g(x)\cdot \frac{D(f(x))}{f(x)}. Sammanfattningsvis får vi då \displaystyle D(f(x)^{g(x)})=\left(D(g(x))\cdot \ln{(f(x)})+ g(x)\cdot \frac{D(f(x))}{f(x)}\right)\cdot f(x)^{g(x)}. b) Om vi låter \displaystyle f(x) =x^2+1 och \displaystyle g(x)=3 så kan vi använda formeln från a). Vi har \displaystyle D(f(x))= 2x och \displaystyle D(g(x))=0. Vi får då \displaystyle D((x^2+1)^3)= (x^2+1)^3\left(0\cdot \ln(x^2+1)+3\frac{2x}{x^2+1}\right)= 6x(x^2+1)^2. c) Låt \displaystyle f(x)=x och \displaystyle g(x)= x. Vi har \displaystyle D(f(x))=D(g(x))=1. Vi får då \displaystyle D(x^x)=x^x\left(1\cdot \ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}\right)= x^x\left(\ln(x)+1\right). d) Låt \displaystyle f(x)=x och \displaystyle g(x)=\sin x. Vi har \displaystyle D(f(x))=1 och \displaystyle D(g(x))= \cos x. Vi får då \displaystyle D(x^{\sin x})= x^{\sin x}\left( \cos x \ln (x) + \frac{\sin x}{x}\right).

\subsubsection{ } a) Derivera \displaystyle \sin x /x. b) Derivera \displaystyle \sin^3x + 3\sin x \cos x. Exempellösning: a) Kvotregeln ger oss \displaystyle D(\sin x/ x)=\frac{x\cos x -\sin x}{x^2}. b) Genom att använda produktregeln och kedjeregeln får vi \displaystyle D(\sin^3x + 3\sin x \cos x)= D(\sin^3x) + D(3\sin x \cos x)= 3\sin^2 x \cos x + 3(\cos^2 x-\sin^2 x).

\section{Kapitel 4} {Integraler}

\subsubsection{ } a) Visa att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/\cos x. b) Visa att \displaystyle x\ln(x) -x är en primitiv funktion till \displaystyle \ln (x). Exempellösningar: a) En primitiv funktion till \displaystyle f är en funktion vars derivata är \displaystyle f. Därför deriverar vi \displaystyle -\ln(\cos x) för att se om det stämmer. \displaystyle D(-\ln(\cos x))= (-\sin x)\frac{-1}{\cos x}= \sin x/ \cos x via kedjeregeln. Detta bekräftar att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/ \cos x. b) Vi gör som i a) och deriverar. \displaystyle D(x\ln(x) -x)= D(x\ln (x))-D(x)=D(x)\ln (x) + xD(\ln (x))-1= \ln (x) +1-1= \ln (x). Detta bekräftar att det är en primitiv funktion.

Ge ett exempel på en funktion som inte är integrerbar på intervallet \displaystyle [0,1]. Exempellösning: Studera funktionen \displaystyle f som är definierad genom att vi sätter \displaystyle f(x)= 1 om \displaystyle x är ett rationellt tal och \displaystyle f(x)=0 och \displaystyle x är irrationellt. Antag att vi har gjort någon indelning av intervallet. På varje delintervall kommer det största värdet vara \displaystyle 1 och det minsta värdet vara \displaystyle 0 eftersom det alltid finns både rationella och irrationella tal i varje delintervall. Översumman blir då \displaystyle S_n = \sum_{i=1}^nM_i\Delta_x = \sum_{i=1}^n1\cdot\Delta_x = 1. Undersumman blir \displaystyle s_n = \sum_{i=1}^nm_i\Delta_x = \sum_{i=1}^n0\cdot\Delta_x = 0. Notera att detta gäller oavsett vilken indelning vi gjort. Därför kommer över- och undersumman aldrig att närma sig varandra och därför kan funktionen inte vara integrerbar.