Slaskövning2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (17 september 2010 kl. 07.41) (redigera) (ogör)
 
(23 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 3: Rad 3:
-
3.1
 
-
Vi vet att <math>|\boldsymbol{u}|=3</math>, <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och <math>|\boldsymbol{u-v}|=5</math>. Beräkna <math>\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.1===
 +
Vi vet att <math>|\boldsymbol{u}|=3</math>, <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och <math>|\boldsymbol{u-v}|=5</math>.
 +
Beräkna skalärprodukten <math>\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 3.1|
Svar|Svar till övning 3.1|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.1}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.1}}
Rad 13: Rad 15:
-
3.2
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.2===
För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna
För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna
<math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala?
<math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala?
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.2|
Svar|Svar till övning 3.2|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.2}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.2}}
Rad 27: Rad 27:
-
3.3
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.3===
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.3|
Svar|Svar till övning 3.3|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.3}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.3}}
Rad 39: Rad 37:
-
3.4
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.4===
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>,
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>,
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>.
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.4|
Svar|Svar till övning 3.4|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.4}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.4}}
Rad 52: Rad 48:
-
3.5
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.5===
Antag att <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}</math>.
Antag att <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}</math>.
# Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>.
# Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>.
# Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>.
# Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.5|
Svar|Svar till övning 3.5|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.5}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.5}}
Rad 68: Rad 61:
-
3.6
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.6===
Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}</math>. Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix}</math> som en summa
Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}</math>. Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix}</math> som en summa
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.6|
Svar|Svar till övning 3.6|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.6}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.6}}
Rad 83: Rad 74:
-
3.7
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.7===
Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och
Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och
<math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>.
<math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.7|
Svar|Svar till övning 3.7|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.7}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.7}}
Rad 97: Rad 86:
-
3.8
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.8===
Antag att <math>\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>. Undersök om
Antag att <math>\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>. Undersök om
-
<center><math>{\rm a)}\ \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}
+
{| width="100%" cellspacing="10px"
-
\qquad{\rm b)}\ \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}
+
|a)
-
\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math></center>
+
|width="33%" |
 +
<math>\boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="33%" | <math>\boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}</math>
 +
|c)
 +
|width="33%" | <math>\boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math>
 +
|}
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 3.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.8a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.8b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 3.8c}}
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3.8|
+
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.8}}
+
Rad 115: Rad 105:
-
3.9
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.9===
Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende
Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende
-
<center><math>{\rm a)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}
+
-
\qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}
+
{| width="100%" cellspacing="10px"
-
\qquad{\rm c)}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math></center>
+
|a)
 +
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}</math>
 +
|c)
 +
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till övning 3.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.9a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.9b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 3.9c}}
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 3.9|
 
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.9}}
 
-
 
+
<div class="ovning">
-
 
+
===Övning 3.10===
-
 
+
-
3.10
+
Visa att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix}</math> ligger i samma plan som vektorerna
Visa att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix}</math> ligger i samma plan som vektorerna
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.10|
Svar|Svar till övning 3.10|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.10}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.10}}
Rad 147: Rad 137:
-
3.11
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.11===
Ligger vektorerna <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>,
Ligger vektorerna <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>,
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan?
<math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan?
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 3.11|
Svar|Svar till övning 3.11|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.11}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.11}}
Rad 162: Rad 149:
-
 
+
<div class="ovning">
-
3.12
+
===Övning 3.15===
Visa att
Visa att
<center><math>
<center><math>
Rad 170: Rad 157:
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>.
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.15|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.15}}
-
{{#NAVCONTENT:
+
<div class="ovning">
-
Svar|Svar till övning 3.12|
+
===Övning 3.16===
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.12}}
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
3.13
+
Visa att
Visa att
<center><math>
<center><math>
Rad 191: Rad 175:
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>.
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.16|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.16}}
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 3.13|
 
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.13}}
 
-
 
+
<div class="ovning">
-
 
+
===Övning 3.17===
-
 
+
-
3.14
+
Visa att
Visa att
<center><math>
<center><math>
Rad 212: Rad 194:
</math></center>
</math></center>
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?
-
 
+
</div>{{#NAVCONTENT:
-
 
+
Svar|Svar till övning 3.17|
-
 
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.17}}
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3.14|
+
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.14}}
+

Nuvarande version

Vi antar nedan att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.



Innehåll

Övning 3.1

Vi vet att \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3, \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och \displaystyle |\boldsymbol{u-v}|=5. Beräkna skalärprodukten \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.


Övning 3.2

För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix} ortogonala?



Övning 3.3

Bestäm en enhetsvektor i \displaystyle yz-planet som är vinkelrät mot vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.



Övning 3.4

Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.



Övning 3.5

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

  1. Bestäm projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u}\displaystyle \boldsymbol{v} samt dess längd, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|.
  2. Bestäm \displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} samt \displaystyle |\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|.



Övning 3.6

Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}. Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix} som en summa

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är parallell med vektorn \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}.



Övning 3.7

Bestäm vinkeln mellan vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} då man vet att \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.



Övning 3.8

Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om

a)

\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}

b) \displaystyle \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix} c) \displaystyle \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}

kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.



Övning 3.9

Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende

a) \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} b) \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} c) \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}




Övning 3.10

Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.



Övning 3.11

Ligger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix} i samma plan?



Övning 3.15

Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.



Övning 3.16

Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.




Övning 3.17

Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?