Tips och lösning till övning 3.9a

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Definition 2.1 ger dej definitionen på linjärkombination.

Tips 2

Sätt tex \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}. Definition av linjärkombination leder då till ekvationssystemet \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{u}\Leftrightarrow\lambda_1 \begin{pmatrix}{2}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}

Tips 3

Lös nu ekvationssystemet genom att multiplicera in dina lambda. Detta leder till en plan genom origo.

Lösning

\displaystyle U är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} sådana att

\displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{u}

\Leftrightarrow \lambda_1 \begin{pmatrix}{2}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr} 2&1\\ 1&1\\ -1&1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right).

Vi utnyttjar rad 2 till att skaffa oss nollor längs första kolonnen och får

\displaystyle

\left(\begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&1\\ 0&2 \end{array}\right|\left.\begin{array}{l} x_1-x_2\\x_2\\ x_2+x_3\end{array}\right) \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&1\\ 0&0 \end{array}\right|\left.\begin{array}{l} x_1-x_2\\x_2\\ 2x_1-3x_2+x_3\end{array}\right).

För att undvika en motsägelse i sista raden måste vi kräva att

\displaystyle 2x_1-3x_2+x_3=0.

Detta betyder att

\displaystyle U=\left\{\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}:\ 2x_1-3x_2+x_3=0\right\}

är ett plan genom origo.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.9a