Tips och lösning till övning 3.10

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 om det finns \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 ej båda 0, så att

\displaystyle \boldsymbol{u}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr|r}2&1&2\\-1&1&-7\\3&2&1\end{array}\right)

\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&3\\\lambda_2&=&-4\end{array}\right.

Vi får alltså att \displaystyle \boldsymbol{u} är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2, ty

\displaystyle \boldsymbol{u}=3\boldsymbol{v}_1 -4\boldsymbol{v}_2.

Detta betyder att \displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Geometriskt betyder det att vi kan nå \displaystyle \boldsymbol{u} om vi går 4 längdenheter i motsatt riktning för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och 3 längdenhet i samma riktning som \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Dessa steg av längdenheter längs respektive vektor har vi kallat för koordinater. Alltså har \displaystyle \boldsymbol{u} koordinaterna 3 och \displaystyle -4 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} och vi skriver

\displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}.
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.10