Tips och lösning till övning 3.5
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Rita en figur som beskriver projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt \displaystyle \boldsymbol{v} på \displaystyle \boldsymbol{u}.
Tips 2
Använd projektionsformeln i de två fallen.
Tips 3
Det blir enklare att beräkna absolutbeloppen om man behåller faktorn framför vektorn.
Lösning
1. Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är \displaystyle \boldsymbol{u}:s ortogonala projektion på \displaystyle \boldsymbol{v} och beräknas enligt
=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v} =\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} =\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
=\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{9}|\sqrt{1+2^2+2^2}=\frac{8}{3}.
2. Vidare är
=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u} =\frac{8}{49}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}
amt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{49}|\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\frac{8}{7}.
