Slaskövning2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (17 september 2010 kl. 07.41) (redigera) (ogör)
 
(58 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
3.1
+
Vi antar nedan att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.
-
Vi vet att <math>|\boldsymbol{u}|=3</math>, <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och <math>|\boldsymbol{u-v}|=5</math>. Beräkna <math>\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}</math>.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.1===
 +
Vi vet att <math>|\boldsymbol{u}|=3</math>, <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och <math>|\boldsymbol{u-v}|=5</math>.
 +
Beräkna skalärprodukten <math>\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 3.1|
Svar|Svar till övning 3.1|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.1}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.1}}
-
=== Uppgift2 ===
 
-
Hej hopp
+
 
-
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
+
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.2===
 +
För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna
 +
<math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.2|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.2}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.3===
 +
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.3|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.3}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.4===
 +
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>,
 +
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.4|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.4}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.5===
 +
Antag att <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}</math>.
 +
 
 +
# Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>.
 +
# Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.5|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.5}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.6===
 +
Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}</math>. Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix}</math> som en summa
 +
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
 +
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.6|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.6}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.7===
 +
Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och
 +
<math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.7|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.7}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.8===
 +
Antag att <math>\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>. Undersök om
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%" |
 +
<math>\boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="33%" | <math>\boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}</math>
 +
|c)
 +
|width="33%" | <math>\boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 3.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.8a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.8b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 3.8c}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.9===
 +
Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}</math>
 +
|c)
 +
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till övning 3.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.9a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.9b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 3.9c}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.10===
 +
Visa att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix}</math> ligger i samma plan som vektorerna
 +
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och
 +
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.10|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.10}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.11===
 +
Ligger vektorerna <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>,
 +
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och
 +
<math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.11|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.11}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.15===
 +
Visa att
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.15|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.15}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.16===
 +
Visa att
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}
 +
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\
 +
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\
 +
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.16|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.16}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 3.17===
 +
Visa att
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}
 +
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\
 +
\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\
 +
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.17|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.17}}

Nuvarande version

Vi antar nedan att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.



Innehåll

Övning 3.1

Vi vet att \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3, \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och \displaystyle |\boldsymbol{u-v}|=5. Beräkna skalärprodukten \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.

Svar
Svar till övning 3.1
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.1


Övning 3.2

För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix} ortogonala?

Svar
Svar till övning 3.2
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.2



Övning 3.3

Bestäm en enhetsvektor i \displaystyle yz-planet som är vinkelrät mot vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.

Svar
Svar till övning 3.3
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.3



Övning 3.4

Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.

Svar
Svar till övning 3.4
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.4



Övning 3.5

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

  1. Bestäm projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt dess längd, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|.
  2. Bestäm \displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} samt \displaystyle |\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|.
Svar
Svar till övning 3.5
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.5



Övning 3.6

Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}. Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix} som en summa

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är parallell med vektorn \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}.

Svar
Svar till övning 3.6
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.6



Övning 3.7

Bestäm vinkeln mellan vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} då man vet att \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.

Svar
Svar till övning 3.7
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.7



Övning 3.8

Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om

a)

\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}

b) \displaystyle \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix} c) \displaystyle \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}

kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.

Svar
Svar Övning 3.8
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till övning 3.8a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till övning 3.8b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till övning 3.8c



Övning 3.9

Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende

a) \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} b) \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} c) \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}
Svar
Svar till övning 3.9
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till övning 3.9a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till övning 3.9b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till övning 3.9c




Övning 3.10

Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.

Svar
Svar till övning 3.10
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.10



Övning 3.11

Ligger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix} i samma plan?

Svar
Svar till övning 3.11
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.11



Övning 3.15

Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.

Svar
Svar till övning 3.15
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.15



Övning 3.16

Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.

Svar
Svar till övning 3.16
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.16




Övning 3.17

Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?

Svar
Svar till övning 3.17
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.17
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning2