20.3 Andragradsytor

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (12 september 2011 kl. 14.40) (redigera) (ogör)
 
(24 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 11: Rad 11:
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/a/ad/Kap20_3.pdf 20.3 Andragradsytor].
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/a/ad/Kap20_3.pdf 20.3 Andragradsytor].
-
Du har nu läst om andragradsytor och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
+
 
 +
'''''Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera andragradsytor genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:SecondDegreeSurface.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/SecondDegreeSurface.jnlp Du kan visualisera andragradsytor]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan visualisera andragradsytor på allmän form genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:SecDegreeSurfaceTilted.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/SecDegreeSurfaceTilted.jnlp Du kan visualisera andragradsytor på allmän form]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan visualisera Exempel 20.7 i boken (finns också i PDF-format under länken ovan) genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:IntersectionSurfaceCylinder.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/IntersectionSurfaceCylinder.jnlp Du kan visualisera Exempel 20.7]
 +
</imagemap>
 +
 
__TOC__
__TOC__
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.27===
 +
Låt <math> d </math> vara avståndet från en punkt på ytan
 +
<center><math>
 +
3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1
 +
</math></center>
 +
till origo. Vilka värden kan <math> d </math> anta? I förekommande fall ange de
 +
punkter där <math> d </math> antar sitt största respektive minsta värde.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.27|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.27}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.28===
 +
Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3
 +
</math></center>
 +
antar på enhetssfären <math> x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.28|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.28}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.29===
 +
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3
 +
</math></center>
 +
på enhetssfären <math> x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.29|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.29}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.30===
 +
Betrakta den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.
 +
</math></center>
 +
 +
a) Uttryck <math> Q </math> i kanonisk bas.
 +
 +
b) Bestäm <math> Q </math>:s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.
 +
 +
c) Beskriv ytan
 +
<center><math>
 +
2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.30|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.30a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.30b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.30c}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.31===
 +
Bestäm en gemensam punkt till ytorna
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\
 +
x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.31|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.31}}

Nuvarande version

       20.1          20.2          20.3          20.4      


Läs textavsnitt 20.3 Andragradsytor.


Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera andragradsytor genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan visualisera andragradsytor på allmän form genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan visualisera Exempel 20.7 i boken (finns också i PDF-format under länken ovan) genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Innehåll

Övning 22.27

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på ytan

\displaystyle

3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1

till origo. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.

Svar
Svar till U 22.27
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.27


Övning 22.28

Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3

antar på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.28
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.28


Övning 22.29

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3

på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.29
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.29


Övning 22.30

Betrakta den kvadratiska formen

\displaystyle

Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.

a) Uttryck \displaystyle Q i kanonisk bas.

b) Bestäm \displaystyle Q :s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.

c) Beskriv ytan

\displaystyle

2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1

och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.

Svar
Svar till U 22.30
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.30a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.30b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.30c



Övning 22.31

Bestäm en gemensam punkt till ytorna

\displaystyle

\begin{array}{rcl} 5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\ 

                          x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
Svar
Svar till U 22.31
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.31
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/20.3_Andragradsytor