20.3 Andragradsytor

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 15: Rad 15:
__TOC__
__TOC__
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.27===
 +
Låt <math> d </math> vara avståndet från en punkt på ytan
 +
<center><math>
 +
3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1
 +
</math></center>
 +
till origo. Vilka värden kan <math> d </math> anta? I förekommande fall ange de
 +
punkter där <math> d </math> antar sitt största respektive minsta värde.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.27|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.27}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.28===
 +
Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3
 +
</math></center>
 +
antar på enhetssfären <math> x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.28|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.28}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.29===
 +
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3
 +
</math></center>
 +
på enhetssfären <math> x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.29|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.29}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.30===
 +
Betrakta den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.
 +
</math></center>
 +
 +
a) Uttryck <math> Q </math> i kanonisk bas.
 +
 +
b) Bestäm <math> Q </math>:s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.
 +
 +
c) Beskriv ytan
 +
<center><math>
 +
2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.30|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.30a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.30b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.30c}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.31===
 +
Bestäm en gemensam punkt till ytorna
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\
 +
x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.31|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.31}}

Versionen från 7 december 2010 kl. 15.59

       20.1          20.2          20.3          20.4      


Läs textavsnitt 20.3 Andragradsytor.

Du har nu läst om andragradsytor och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


Innehåll

Övning 22.27

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på ytan

\displaystyle

3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1

till origo. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.

Svar
Svar till U 22.27
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.27


Övning 22.28

Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3

antar på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.28
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.28


Övning 22.29

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3

på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.29
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.29


Övning 22.30

Betrakta den kvadratiska formen

\displaystyle

Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.

a) Uttryck \displaystyle Q i kanonisk bas.

b) Bestäm \displaystyle Q :s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.

c) Beskriv ytan

\displaystyle

2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1

och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.

Svar
Svar till U 22.30
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.30a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.30b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.30c



Övning 22.31

Bestäm en gemensam punkt till ytorna

\displaystyle

\begin{array}{rcl} 5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\ 

                          x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
Svar
Svar till U 22.31
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.31
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/20.3_Andragradsytor