Slaskövning2
SamverkanLinalgLIU
| (14 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
Vi antar nedan att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet. | Vi antar nedan att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet. | ||
| + | |||
| + | |||
| Rad 5: | Rad 7: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
===Övning 3.1=== | ===Övning 3.1=== | ||
| - | Vi vet att <math>|\boldsymbol{u}|=3</math>, <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och <math>|\boldsymbol{u-v}|=5</math>. Beräkna <math>\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}</math>. | + | Vi vet att <math>|\boldsymbol{u}|=3</math>, <math>|\boldsymbol{v}|=4</math> och <math>|\boldsymbol{u-v}|=5</math>. |
| + | Beräkna skalärprodukten <math>\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}</math>. | ||
</div>{{#NAVCONTENT: | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
Svar|Svar till övning 3.1| | Svar|Svar till övning 3.1| | ||
| Rad 12: | Rad 15: | ||
| - | 3.2 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.2=== | ||
För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna | För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna | ||
<math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala? | <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala? | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.2| | Svar|Svar till övning 3.2| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.2}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.2}} | ||
| Rad 26: | Rad 27: | ||
| - | 3.3 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.3=== | ||
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>. | Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.3| | Svar|Svar till övning 3.3| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.3}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.3}} | ||
| Rad 38: | Rad 37: | ||
| - | 3.4 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.4=== | ||
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>, | Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>, | ||
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>. | <math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.4| | Svar|Svar till övning 3.4| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.4}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.4}} | ||
| Rad 51: | Rad 48: | ||
| - | 3.5 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.5=== | ||
Antag att <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}</math>. | Antag att <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}</math>. | ||
# Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>. | # Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>. | ||
# Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>. | # Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.5| | Svar|Svar till övning 3.5| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.5}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.5}} | ||
| Rad 67: | Rad 61: | ||
| - | 3.6 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.6=== | ||
Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}</math>. Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix}</math> som en summa | Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}</math>. Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix}</math> som en summa | ||
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center> | <center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center> | ||
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>. | där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.6| | Svar|Svar till övning 3.6| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.6}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.6}} | ||
| Rad 82: | Rad 74: | ||
| - | 3.7 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.7=== | ||
Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och | Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och | ||
<math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>. | <math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.7| | Svar|Svar till övning 3.7| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.7}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.7}} | ||
| Rad 96: | Rad 86: | ||
| - | 3.8 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.8=== | ||
Antag att <math>\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>. Undersök om | Antag att <math>\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>. Undersök om | ||
{| width="100%" cellspacing="10px" | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| Rad 108: | Rad 99: | ||
|} | |} | ||
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>. | kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>. | ||
| - | {{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 3.8| | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 3.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.8a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.8b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 3.8c}} |
| Rad 114: | Rad 105: | ||
| - | 3.9 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.9=== | ||
Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende | Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende | ||
| Rad 125: | Rad 117: | ||
|width="33%" | <math>\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> | |width="33%" | <math>\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> | ||
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till övning 3.9| | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till övning 3.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.9a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.9b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 3.9c}} |
| Rad 132: | Rad 124: | ||
| - | 3.10 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.10=== | ||
Visa att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix}</math> ligger i samma plan som vektorerna | Visa att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix}</math> ligger i samma plan som vektorerna | ||
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och | <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och | ||
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>. | <math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>. | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.10| | Svar|Svar till övning 3.10| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.10}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.10}} | ||
| Rad 147: | Rad 137: | ||
| - | 3.11 | + | <div class="ovning"> |
| + | ===Övning 3.11=== | ||
Ligger vektorerna <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>, | Ligger vektorerna <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>, | ||
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och | <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och | ||
<math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan? | <math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan? | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
Svar|Svar till övning 3.11| | Svar|Svar till övning 3.11| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.11}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.11}} | ||
| Rad 162: | Rad 149: | ||
| - | + | <div class="ovning"> | |
| - | 3. | + | ===Övning 3.15=== |
Visa att | Visa att | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| Rad 170: | Rad 157: | ||
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen | är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen | ||
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>. | <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3.15| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.15}} | ||
| - | + | <div class="ovning"> | |
| - | + | ===Övning 3.16=== | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
Visa att | Visa att | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| Rad 191: | Rad 175: | ||
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen | är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen | ||
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>. | <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3.16| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.16}} | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 3.13| | ||
| - | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.13}} | ||
| - | + | <div class="ovning"> | |
| - | + | ===Övning 3.17=== | |
| - | + | ||
| - | 3. | + | |
Visa att | Visa att | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| Rad 212: | Rad 194: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna? | är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna? | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT: | |
| - | + | Svar|Svar till övning 3.17| | |
| - | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.17}} | |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
| - | Svar|Svar till övning 3. | + | |
| - | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3. | + | |
Nuvarande version
Vi antar nedan att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.
Innehåll |
Övning 3.1
Vi vet att \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3, \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och \displaystyle |\boldsymbol{u-v}|=5. Beräkna skalärprodukten \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.
Hämtar...
Övning 3.2
För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix} ortogonala?
Övning 3.3
Bestäm en enhetsvektor i \displaystyle yz-planet som är vinkelrät mot vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.
Övning 3.4
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.
Övning 3.5
Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.
- Bestäm projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt dess längd, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|.
- Bestäm \displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} samt \displaystyle |\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|.
Övning 3.6
Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}. Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix} som en summa
där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är parallell med vektorn \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}.
Övning 3.7
Bestäm vinkeln mellan vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} då man vet att \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.
Övning 3.8
Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om
| a) |
\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix} | b) | \displaystyle \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix} | c) | \displaystyle \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix} |
kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.
Övning 3.9
Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende
| a) | \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} | b) | \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} | c) | \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} |
Övning 3.10
Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.
Övning 3.11
Ligger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix} i samma plan?
Övning 3.15
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.
är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.
Övning 3.16
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.
Övning 3.17
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?
