SamverkanLinalgLIU

Läs textavsnitt 16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Övningar

17.20. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \boldsymbol{e} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).

1. Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F).
2. Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}.
3. Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?

17.21. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)

och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm \displaystyle V(F)\cap N(G).

17.22. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).

Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).

17.23. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen

\displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).

Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.

17.24. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på resp. \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t och \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också värderummet \displaystyle V(F).

17.25. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom

\displaystyle F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).

1. Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
2. Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F).

17.26. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med

\displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t]

och

\displaystyle V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t].

17.27. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).

17.28. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.

17.29. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t resp. \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också \displaystyle V(F).