Tips och lösning till övning 17.22

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Följ tipsen i övning 17.20 för att finna \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F)

Tips 2

För att finna \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2) börjar du med att ta fram matrisen för \displaystyle F^2 som är \displaystyle A^2.

Tips 3

Du fortsätter med att följa mönstret, först nollrum sedan värderum på samma sätt som du gjort tidigare


Lösning


Nollrummet \displaystyle N(F) är mängden av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X sådana att

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \underline{\boldsymbol{e}}AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow X=t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.

Alltså är \displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t] och därmed kan vi välja \displaystyle V(F)=[(1,1,1)^t,(-2,-3,2)^t]=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ 5x_1-4x_2-x_3=0\}. Eftersom \displaystyle (1,1,1)^t\in V(F), så \displaystyle N(F)\cap V(F)=(1,1,1)^t.

Vidare har \displaystyle F^2 matrisen \displaystyle A^2 som har \displaystyle N(F^2)=[(0,1,1)^t,(1,0,0)^t] och enligt dimensionssatsen så är dim\displaystyle V(F^2)=1. Alltså \displaystyle V(F^2)=[(6,11,-14)^t].

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.22