Tips och lösning till övning 17.29

Tips 1

Skriv \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 som kolonnmatriser.

Tips 2

Kolonnerna i basbytesmatrisen \displaystyle T ges av \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 resp \displaystyle \boldsymbol{f}_3

Tips 3

Omvända bassambandet ges av \displaystyle T^{-1}. Koordinatsambandet ges av \displaystyle X=TY resp \displaystyle Y=T^{-1}X.

Lösning

Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\{-1}\\\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, så ges bassambandet av \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\1&{-1}&0\end{pmatrix}.

Det omvända bassambandet ges av \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\underline{\boldsymbol{f}}T^{-1}, där \displaystyle T^{-1}=\begin{pmatrix}{-1}&1&1\\{-1}&1&0\\2&{-1}&{-1}\end{pmatrix}.

Koordinatsambanden är \displaystyle X=TY, \displaystyle Y=T^{-1}X.