Slaskövning2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 16: Rad 16:
För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna
För vilka värden på <math>a</math> är vektorerna
<math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala?
<math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix}</math> ortogonala?
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.2|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.2}}
 +
 +
Rad 21: Rad 29:
3.3
3.3
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.3|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.3}}
Rad 28: Rad 42:
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>,
Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>,
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>.
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>.
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.4|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.4}}
 +
Rad 36: Rad 57:
# Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>.
# Bestäm projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt dess längd, dvs <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|</math>.
# Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>.
# Bestäm <math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}</math> samt <math>|\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.5|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.5}}
 +
Rad 43: Rad 72:
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.6|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.6}}
 +
Rad 50: Rad 86:
Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och
Bestäm vinkeln mellan vektorerna <math>\boldsymbol{u}</math> och <math>\boldsymbol{v}</math> då man vet att <math>\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}</math> och
<math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>.
<math>\boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v}</math> är ortogonal mot <math>2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}</math>.
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.7|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.7}}
 +
 +
Rad 59: Rad 103:
\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math></center>
\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math></center>
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.8|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.8}}
 +
Rad 68: Rad 120:
\qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}
\qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}
\qquad{\rm c)}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math></center>
\qquad{\rm c)}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}</math></center>
 +
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.9|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.9}}
 +
Rad 76: Rad 136:
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.10|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.10}}
 +
 +
Rad 83: Rad 151:
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}</math> och
<math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan?
<math>\boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}</math> i samma plan?
 +
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.11|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.11}}
 +
Rad 94: Rad 170:
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>.
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.12|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.12}}
Rad 108: Rad 191:
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>.
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>.
 +
 +
 +
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 3.13|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.13}}
 +
 +

Versionen från 7 mars 2010 kl. 12.21

Vi antar nedan att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.


3.1 Vi vet att \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3, \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och \displaystyle |\boldsymbol{u-v}|=5. Beräkna \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.



Svar
Svar till övning 3.1
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.1


3.2 För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix} ortogonala?



Svar
Svar till övning 3.2
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.2



3.3 Bestäm en enhetsvektor i \displaystyle yz-planet som är vinkelrät mot vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.



Svar
Svar till övning 3.3
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.3



3.4 Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.



Svar
Svar till övning 3.4
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.4



3.5 Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

  1. Bestäm projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt dess längd, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|.
  2. Bestäm \displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} samt \displaystyle |\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|.




Svar
Svar till övning 3.5
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.5



3.6 Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}. Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix} som en summa

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är parallell med vektorn \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}.



Svar
Svar till övning 3.6
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.6



3.7 Bestäm vinkeln mellan vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} då man vet att \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.



Svar
Svar till övning 3.7
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.7



3.8 Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om

\displaystyle {\rm a)}\ \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}

\qquad{\rm b)}\ \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}

\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}

kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.




Svar
Svar till övning 3.8
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.8



3.9 Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende

\displaystyle {\rm a)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}

\qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}

\qquad{\rm c)}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}




Svar
Svar till övning 3.9
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.9



3.10 Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.



Svar
Svar till övning 3.10
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.10



3.11 Ligger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix} i samma plan?




Svar
Svar till övning 3.11
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.11



3.12 Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.




Svar
Svar till övning 3.12
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.12



3.13 Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.



Svar
Svar till övning 3.13
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.13




3.14 Visa att

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning2