Testsida3

Betrakta ekvationen \displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Vi noterar först och \displaystyle \sqrt{3}/2 motsvarar en standarvinkel, nämligen \displaystyle \pi/6. Däremot finns inte \displaystyle -\sqrt{3}/2 med på de vanligaste tabellerna över cos- och sin-värden för vanliga vinklar. Hur löser man då den här ekvationen? Vi ska dela upp lösningen i några enklare steg.

a) Utgå från ekvationen \displaystyle \cos(\pi/3)=\sqrt{3}/2. Använd trigonometriska samband från kurslitteraturen för att skriva om denna ekvation som \displaystyle \cos(x)=-\sqrt{3}/2, där \displaystyle x är en vinkel mellan \displaystyle 0 och \displaystyle 2\pi.

b) I a)-uppgift hittade vi en lösning till den angivna ekvationen. Hitta en till lösning på intervallet \displaystyle [0,2\pi). Tips: rita upp enhetscirkeln!

c) I deluppgift a) och b) hittade två lösningar till ekvationen. Hitta resten av lösningarna.

En klass består av 30 elever. Vi vet att 15 av dem gillar fysik, 10 gillar biologi och 12 gillar matematik. Vidare så vet vi att 5 stycken gillar både matematik och biologi, 8 tycker om matematik och fysik, och 4 stycken tycker om fysik och biologi. I klassen finns det bara en person som tycker om samtliga ämnen.

Beteckna mängden av elever som gillar fysik med \displaystyle A, biologi med \displaystyle B och matematik med \displaystyle C.

Situationen kan illustreras med hjälp av ett Venn-diagram, se bilden bredvid.

Hur många elever gillar enbart matematik? Markera den efterfrågade mängden i Venn-diagrammet.

En punkt kallas \displaystyle a ett lokalt minimum om funktionsvärdena precis intill punkten är mindre än eller lika med \displaystyle f(a). På motsvarande sätt definieras ett lokalt maximum. Hitta antalet lokala maximi- och minimipunkter på intervallet \displaystyle (-2,2). Notera att \displaystyle 2 och \displaystyle -2 inte ligger på intervallet.

a)	\displaystyle f(x)=\frac{3x^2}{4} +x-3/2
b)	\displaystyle f(x)=x\sin{(6x)}
c)	\displaystyle f(x)=2
d)	\displaystyle f(x)=\begin{cases}-2x+4&\text{om }x<-1\\2&\text{om }-1\leq x\leq 1\\2x+4&\text{om }x>1\end{cases}
e)	\displaystyle f(x)=x+1
f)	\displaystyle f(x)=\begin{cases}x+2&\text{om }x<-1\\-2 x + 1&\text{om }-1\leq x< 1\\x&\text{om }x\geq 1\end{cases}